"НАЧАЛА" ЕВКЛИДА

- научное произведение, написанное в 3 в. до н. э., содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. "Н." Е.- образец дедуктивной системы, содержащей исходные предложения геометрии и других разделов математики, на основе к-рых все теории развиваются строго логически.

"Н." Е. составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида и кратко изложенной в сочинениях Аристотеля: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства. Помимо теорем в "Н." Е. имеются и проблемы, решаемые построением или с помощью арифметич. алгоритмов. Вслед за определением основных геометрич. понятий и объектов Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника) путем их построения, к-рое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения следующих элементарных построений: 1) через две точки можно провести прямую; 2) отрезок прямой можно неограниченно продолжить; 3) данным радиусом из данной точки можно провести окружность; 4) все прямые углы равны между собой (этим обеспечивается единственность продолжения прямой); 5) если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше суммы двух прямых, то прямые пересекутся при неограниченном их продолжении с той стороны, с к-рой эта сумма меньше. Все постулаты (кроме 4-го, к-рый заменяется требованием, чтобы через две точки проходила единственная прямая) вошли в качестве аксиом в современные курсы оснований геометрии. Особенно интересна судьба 5-го постулата. Еще в древности математики пытались его доказать. Аналогичные попытки продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского (см. Лобачевского геометрия), построившего первую систему неевклидовой геометрии, в к-рой этот постулат не имеет места. За постулатами в "Н." Е. приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами: 1) равные одному и тому же равны между собой, 2) если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны, 3) если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны, 4) совмещающиеся друг с другом равны между собой, 5) целое больше части (в нек-рых списках "Н." Е. к этому добавляют еще четыре аксиомы).

"Н." Е. состоят из тринадцати книг (отделов или частей). В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора. В книге II излагается т. н. геометрич. алгебра, т. е. строится геометрич. аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. При этом величины изображаются отрезками, а произведение двух величин - площадями. Алгебраич. символика в "Н." Е. отсутствует. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й пол. 5 в. до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V дается общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским (4 в. до н. э.); она отличается особенной логич. завершенностью и в основном эквивалентна теории дедекиндовых сечений, являющейся одним из обоснований учения о действительных числах. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга XII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII - IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и бесконечности числа простых чисел, а также строится учение об отношении целых чисел, эквивалентное по существу теории рациональных чисел. В книге X на этой основе дается классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются нек-рые правила их преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для определения ребер пяти правильных многогранников. Значительная часть книг X и XIII (а вероятно, и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются начала стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношений объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы были впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII определяется отношение объемов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греч. математиками к "Н." Е. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежащие Евклиду. Они часто и теперь издаются совместно с основным текстом "Н." Е. Содержание их не представляет большого научного интереса.

"Н." Е. получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и другие учепые опирались на них при своих исследованиях в области математики и механики. В кон. 8 - нач. 9 вв. появляются переводы "Н." Е. на арабский язык. Первый перевод на латинский язык был сделан с арабского в 1-й четверти 12 в. Старинные списки "Н." Е. отличаются существенными разночтениями; подлинный текст их точно не восстановлен. Первое печатное издание "Н." Е. в переводе на латинский язык появилось в 1482 с чертежами на полях книги. Наилучшим считается издание Й. Хейберга (5 тт., 1883-88), в к-ром приводится как греческий текст, так и его латинский перевод. На русском языке имеются следующие переводы: И. Астарова - "Евклидовы елементы", сокращенные проф. А. Фархварсоном (8 кн., 1739, пер. слатин.), Н. Курганова - "Евклидовы елементы геометрии" (8 кн., 1769, пер. с франц.), П. Суворова и В. Никитина - "Евклидовы стихии" (осьмкниг, 1-6, 11, 12; 1784, пер. с греч.), Ф. Петрушевского - "Эвклидовых начал восемь книг, а именно: первые шесть, одиннадцатая и двенадцатая, содержащие в себе основания геометрии" (1819, пер. с греч.), Ф. Петрушевского - "Эвклидовых начал три книги, а именно: седьмая, осьмая и девятая, содержащие общую теорию чисел древних геометров" (1835, пер. с греч.), М. Е. Ващенко-Захарченко - "Начала Евклида" (1880), Д. Д. Мордухай-Болтовского - "Начала Евклида" (3 тт., 1948-50, пер. с греч.).

По материалам одноименной статьи И. Г. Башмаковой и А. И. Маркушевича из БСЭ-2.