- НАИМЕНЕЕ БЛАГОПРИЯТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
- априорное распределение, максимизирующее функцию риска в статистич. задаче принятия решения.
Пусть по реализации случайной величины X, принимающей значения в выборочном пространстве (
,
надлежит принять решение dиз пространства решений
при этом предполагается, что неизвестный параметр
является случайной величиной, принимающей значения в выборочном пространстве (
,
),
. Пусть функция
выражает потери, к-рые возникают при принятии решения d, если истинное значение параметра есть
. Априорное распределение
из семейства
наз. наименее благоприятным для решения dв статистической задаче принятия решения при бейесовском подходе, если
где
- функция риска, выражающая средние потери от принятия решения d.H. б. р.
позволяет вычислить самые "тяжелые" (в среднем) потери
возникающие при принятии решения d. В практич. деятельности ориентируются, как правило, не на Н. б. р., а наоборот, стараются принять такое решение, к-рое предохранило бы от максимальных потерь при изменении параметра в, что приводит к поиску минимаксного решения
, минимизирующего максимальный риск, т. е.
В задаче проверки сложной статистич. гипотезы против простой альтернативы при бейесовском подходе Н. б. р. определяется с помощью редукции Вальда, к-рая заключается в следующем. Пусть по реализации случайной величины Xнадлежит проверить сложную гипотезу
, согласно к-рой закон распределения Xпринадлежит семейству
против простой альтернативы
, согласно к-рой случайная величина Xподчиняется закону Q, и пусть
где
- нек-рая s-конечная мера на
- семейство априорных распределений на
. Тогда для любого
сложной гипотезе
можно сопоставить простую гипотезу
, согласно к-рой случайная величина Xподчиняется вероятностному закону, имеющему плотность вероятности
Согласно Неймана- Пирсона лемме для проверки простой гипотезы
против простой альтернативы
существует наиболее мощный критерий, построенный на отношении правдоподобия. Пусть
- мощность этого критерия, тогда Н. б. р. есть то априорное распределение
из семейства
, для к-рого выполняется неравенство
для всех
. Н. б. р. обладает тем свойством, что плотность вероятности
случайной величины Xпри гипотезе
"наименее удалена" от альтернативной плотности q(x), т. е. гипотеза
является самой "близкой" из семейства
к конкурирующей гипотезе Н 1. См. Бейесовский подход. Лит.:.[1] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; [2] 3акс Ш., Теория статистических выводов, пер. с англ., М., 1975. М. С. Никулин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.