МЮНЦА ТЕОРЕМА

теорема о полноте системы степеней на отрезке для того чтобы для любой функции , непрерывной на и любого нашлась линейная комбинация

такая, что

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

В случае отрезка к системе присоединяют единицу и для полноты пополненной системы условие (*) остается по-прежнему необходимым и достаточным. Условие существенно: так, система (для нее выполняется условие (*)) не полна на [ -1, 1] (нечетную функцию нельзя приблизить с любой точностью комбинацией четных степеней).

Условие (*) необходимо и достаточно для полноты в метрике , , т. е. чтобы для каждой функции и любого нашлась линейная комбинация такая, что

Теорема получена X. Мюнцем [1].

Лит.:[1] Мuntz H., Approximationssatz von Weierstrass [Festschrift H. A. Schwarz], [В.], 1914; [2] Axиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965.

А. Ф. Леонтьев.