- МУЛЬТИПОЛЯ ПОТЕНЦИАЛ
- гармоническая функция в области
пространства
являющаяся частной производной какого-либо порядка
от главного фундаментального решения уравнения Лапласа, т. е. функция вида
Пусть для краткости
; при
потенциалы диполей имеют вид
где
- направляющие косинусы радиус-вектора точки наблюдения
. Функция
напр., истолковывается как потенциал диполя с моментом 1 и осью
, то есть как предел при
суммы ньютоновых потенциалов массы
, помещенной в точке
, и массы
, помещенной в точке
; иначе эту функцию можно представить себе как магнитный потенциал маленького магнита, расположенного вдоль оси
в начале координат.
Аналогично, функции
и
суть потенциалы диполей с осями соответственно
и
. Составляя линейные комбинации этих функций, можно получить потенциал произвольно ориентированного диполя с любым моментам
. При
имеют место квадруполей потенциалы, получаемые предельным переходом для определенных систем четырех точечных масс, сумма которых всегда равна нулю, и т. д.
Ньютонов потенциал
ограниченного тела
плотности
расположенного так, что
можно разложить в ряд по М. п.
- общая масса тела G, а коэффициенты
наз. при
дипольными моментами, при
- квадрупольными моментами и, вообще, при всех
- мультипольными моментами. Ряд (1) отличается от разложения потенциала
по сферич. функциям
перегруппировкой членов, и члены ряда (2) можно также истолковывать как потенциалы специальным образом ориентированных мультиполей (см. [1]). Поэтому коэффициенты
также часто наз. соответственно дипольными, квадрупольными и, вообще, мультипольными моментами.
Разложения типа (1) и (2) применяются для описания н приближенного представления скалярных или векторных потенциалов не только в связи с фундаментальным решением уравнения Лапласа, но и уравнения Гельмгольца (см. [2]).
В гидродинамике плоских течений идеальной несжимаемой жидкости находят также применение комплексные М. п. вида
где z - комплексное переменное,
и
- соответственно момент и угол ориентации мультиполя. Получающийся при
дипольный потенциал истолковывается как предел при
суммы комплексных потенциалов источника мощности 1 в точке
и стока мощности 1 в точке
. Разложению (1) здесь соответствует разложение комплексного потенциала скоростей потока, обтекающего плоское тело G, в окрестности бесконечно удаленной точки:
При этом действие обтекаемого тела
заменяется суммарным действием М. п., помещенных в начале координат (см. [3]).
Лит.:[1] Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 2, М., 1960; [2] Джексон Дж., Классическая электродинамика, пер. с англ., М., 1965; [3] Милн-Томсон Л.-М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964.
Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.