ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ

ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ
ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ

- основанная на вариационном принципе формулировка механики и теории поля, в к-рой состояние системы задаётся обобщёнными координатами qi и их производными по времени - обобщёнными скоростями 2541-68.jpg (см. Вариационные принципы механики). Исходным для Л. ф. являются фун-дам. понятия действия S и его полной производной по времени, взятой вдоль траектории системы,- Лагранжа функции L(t); при этом 2541-69.jpg . Для механич. системы с конечным числом степеней свободы (напр., для системы материальных точек) обычно принимают, что ф-ция Лагранжа зависит от qi и 2541-70.jpg:

2541-71.jpg

(где q,2541-72.jpg- совокупность q ,2541-73.jpg). Существуют и обобщения Л. ф. на случаи, когда L зависит от высших производных qi. Для систем с бесконечным числом степеней свободы - физ. полей - роль обобщённых координат играют значения компонент поля 2541-74.jpg во всех пространств. точках x. Зависимость L от всех 2541-75.jpg означает, что L является функционалом. Для физики наиб. интересны локальные функционалы, для к-рых вторая вариац. производная 2541-76.jpg отлична от нуля лишь при 2541-77.jpg. Тогда ф-ция Лагранжа может быть представлена в виде

2541-78.jpg ,

а действие - в виде , где плотность ф-ции Лагранжа 2541-79.jpg, называемая 2541-80.jpg лагранжианом, зависит от полей (и, как правило, от их первых производных), взятых в одной и той же точке пространства-времени х, t.[Иногда термин "лагранжиан" используют и для самой ф-ции Лагранжа L(t), а 2541-81.jpg наз. плотностью лагранжиана.]

В релятивистской теории и действие S, и лагранжиан 2541-82.jpg являются скалярами относительно преобразований Пуанкаре группы. В четырёхмерных обозначениях переменные 2541-83.jpg входят равноправно, и действие записывается как локальный функционал полей и их первых производных, заданных на нек-рой 4-области 2541-84.jpg:

2541-85.jpg

(принято сокращение 2541-86.jpg ).

В механике и теории поля постулируется фундаментальный наименьшего действия принцип, утверждающий, что для реальных движений системы функционал S принимает экстрем. значение, т. е. его вариации 2541-87.jpg . Ур-ния движения получаются из него по правилам вариац. исчисления как условия экстремума; они наз. Эйлера - Лагранжа уравнениями и имеют вид

2541-88.jpg

где 2541-89.jpg - "полная частная производная", учитывающая зависимость 2541-90.jpg от х как явную, так и через поля 2541-91.jpg, по повторяющемуся индексу 2541-92.jpg предполагается суммирование. Т. о., задание формы лагранжиана полностью определяет ур-ния движения. [Для систем со связями 2541-93.jpg=0 вариац. принцип применяется к модифициров. лагранжиану 2541-94.jpg=2541-95.jpg , причём множители Лагранжа 2541-96.jpg находятся интегрированием соответственно модифициров. ур-ний Эйлера - Лагранжа.]

При наличии в теории симметрии Л. ф. позволяет, помимо ур-ний движения, найти соответствующие сохранения законы с помощью Нётер теоремы. В силу этой теоремы из инвариантности действия относительно каждой однопараметрич. группы преобразований симметрии следует сохранение одной явно строящейся ф-ции координат и скоростей F(q, 2541-97.jpg, t). В релятивистской теории аналогом момента времени t служит пространственноподобная поверхность 2541-98.jpg, а аналогом сохранения во времени, dF/dt=0, является независимость от 2541-99.jpg соответствующего функционала 2541-100.jpg, полей и их производных:

2541-101.jpg

Иными словами, каждой сохраняющейся величине F отвечает локальный четырёхмерный "ток" 2541-102.jpg , удовлетворяющий дифференц. закону сохранения 2541-103.jpg

В частности, всякое релятивистское описание должно быть инвариантно относительно трансляций и вращений в 4-пространстве (образующих 10-параметрич. группу Пуанкаре). Инвариантность S относительно преобразований группы Пуанкаре приводит к сохранению четырёх компонент энергии-импульса 2541-104.jpg и шести компонент момента 2541-105.jpg . Если взять поверхность а в виде x0=t, то они выражаются ф-лами

2541-106.jpg

через свои "токи" - тензоры энергии-импульса 2541-107.jpg и момента 2541-108.jpg , удовлетворяющие дифференциальным законам сохранения 2541-109.jpg=0 и 2541-110.jpg=0.

Эти тензоры находятся по заданному 2541-111.jpg по формулам

2541-112.jpg

где матрица 2541-113.jpg описывает изменение многокомпонентного поля 2541-114.jpg при бесконечно малом преобразовании Лорепца с параметром 2541-115.jpg,2541-116.jpg

Если в теории имеются и др. группы симметрии, т. е. действие инвариантно относительно преобразований из этих групп, теорема Нётер даёт дополнит. сохраняющиеся величины (напр., заряды; см. Квантовая теория поля). В гамилътоновом формализме выясняется, что сохраняющиеся величины являются генераторами соответствующих преобразований симметрии. (Отметим, что в теориях, содержащих динамические симметрии, возникают дополнит. законы сохранения, к-рые не могут быть получены из теоремы Нётер.)

Т. о., лагранжиан полностью определяет теорию: Л. ф. даёт ур-ния движения и сохраняющиеся динамич. величины. Напротив, по заданной теории лагранжиан восстанавливается неоднозначно, напр. к нему всегда можно добавить 4-дивергенцию любой ф-ции, что не сказывается ни на ур-ниях движения, ни на сохраняющихся величинах.

Л. ф. играет важную эвристич. роль при построении матем. описания новой области явлений. Действительно, в соответствии с требованиями инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре и др. групп симметрии 2541-117.jpg может зависеть только от инвариантных комбинаций полей, к-рые нетрудно перечислить. Если ио соображениям простоты оставить в 2541-118.jpg инварианты миним. степени по полям, получающиеся из Л. ф. ур-ния движения часто оказываются линейными. В этом случае они наз. уравнениями свободного поля. Так, для векторного поля с абелевой калибровочной группой (напр., эл.-магн. поля) все возможные лагранжианы эквивалентны выражению 2541-119.jpg , где тензор поля 2541-120.jpg=2541-121.jpg , 2541-122.jpg - 4-потенциал, а ур-ния свободного поля имеют вид 2541-123.jpg=0. В случае более сложной симметрии, напр. с неабелевой калибровочной группой, тензор поля

2541-124.jpg

(где tabc - структурные константы группы), а простейший лагранжиан 2541-125.jpg . Уже простейшие нетривиальные ур-ния оказываются нелинейными по полю: 2541-126.jpg, где 2541-127.jpg- ко вариантная производная для. данной калибровочной группы.

Квантовая теория поля заимствует у классической весь Л. ф. с той лишь разницей, что полевые ф-ции являются теперь не с -числами, а, вообще говоря, некоммутирующими операторами. Поэтому операция варьирования, применяемая для вывода ур-ний движения и получения динамич. величин, требует доопределения [5, 6]; в ряде случаев (напр., в квантовой электродинамике) оно сводится к той или иной симметризации операторов.

Фундам. роль Л. ф. была вскрыта в лагранжевой форме квантовой динамики [Р. Фейнман (R. Feynman), 1948] - третьем, наряду с традиционными шрёдингеровым и гейзенберговым, способе её построения. На этом пути отщепление квантовой теории от классической связано с разными законами композиции вероятностей перехода между последоват. состояниями а, Ь, с,. . . динамич. системы. В то время как в классич. теории для вероятностей Р имеет место интуитивно очевидный мультипликативный закон композиции

2541-128.jpg

(здесь "суммирование" производится по всем промежуточным конфигурациям Ь), в квантовой теории ему подчиняются не сами вероятности, а амплитуды А (такие, что Р аЬ=2541-129.jpg . Матем. оформление этого утверждения 2541-130.jpg эквивалентно введению функционального интеграла по значениям обобщённых координат в момент времени t на всех возможных траекториях системы. Все результаты обычной квантовой динамики получаются тогда из постулата, что фаза амплитуды есть классич. действие, измеренное в единицах 2541-131.jpg :2541-132.jpg

Фейнмановский функциональный (континуальный) интеграл широко используется также в квантовой теории поля.

В квазиклассич. приближении, когда фазы 2541-133.jpg велики, осн. вклад в континуальный интеграл даёт область, где фаза стационарна, т. е. 2541-134.jpg=0 при вариации траекторий. Т. о., принцип наим. действия для классич. траекторий оказывается следствием квантовой динамики.

Лит.:1) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика, 4 изд., М., 1988; их же, Теория поля, 7 изд., М., 1988; 2) Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; 3) Медведев Б. В., Начала теоретической физики, М., 1977; 4) Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей,

4 изд., М., 1984; 5) Березин Ф. А., Метод вторичного квантования, 2 изд., М., 1986; 6) Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988. Б. В. Медведев, В. П. Павлов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ" в других словарях:

  • лагранжев формализм — Lagranžo formalizmas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lagrangian description; Lagrangian formalism vok. Lagrange Formalismus, m; Lagrangescher Formalismus, m rus. лагранжев формализм, m; лагранжево описание, n; формализм Лагранжа, m… …   Fizikos terminų žodynas

  • Формализм — (от лат. forma) 1) предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием; 2) соблюдение внешней формы в ущерб существу дела; 3) тот или иной математический прием, лежащий в основе какой либо науки, раздела науки, конкретный формализм используемый в… …   Начала современного естествознания

  • формализм Лагранжа — Lagranžo formalizmas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lagrangian description; Lagrangian formalism vok. Lagrange Formalismus, m; Lagrangescher Formalismus, m rus. лагранжев формализм, m; лагранжево описание, n; формализм Лагранжа, m… …   Fizikos terminų žodynas

  • ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ — основанная на вариац. принципе формулировка механики и теории поля, в к рой состояние системы задаётся обобщёнными координатами qi и обобщёнными импульсами pi(i=1, 2, . . ., N, где N число степеней свободы). Описываемая Г. ф. динамическая система …   Физическая энциклопедия

  • Квантовая теория поля — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Квантовая теория поля (КТП) раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степ …   Википедия

  • ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ — Введение. Э. ч. в точном значении этого термина первичные, далее неразложимые ч цы, из к рых, по предположению, состоит вся материя. В совр. физике термин «Э. ч.» обычно употребляется не в своём точном значении, а менее строго для наименования… …   Физическая энциклопедия

  • Классическая механика —     Классическая механика …   Википедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ — квантово полевая теория гравитационного взаимодействия. Поскольку гравитац. взаимодействие универсально (в нём одинаково участвуют все виды материи, независимо от их конкретных свойств), то считается, что построение полной, законченной К. т. г.… …   Физическая энциклопедия

  • Lagrange-Formalismus — Lagranžo formalizmas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lagrangian description; Lagrangian formalism vok. Lagrange Formalismus, m; Lagrangescher Formalismus, m rus. лагранжев формализм, m; лагранжево описание, n; формализм Лагранжа, m… …   Fizikos terminų žodynas

  • Lagrangescher Formalismus — Lagranžo formalizmas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Lagrangian description; Lagrangian formalism vok. Lagrange Formalismus, m; Lagrangescher Formalismus, m rus. лагранжев формализм, m; лагранжево описание, n; формализм Лагранжа, m… …   Fizikos terminų žodynas


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»