- МИЛНОРА СФЕРА
- гладкое многообразие, гомео-морфное (кусочно линейно изоморфное) сфере S", но не диффеоморфное ей. Впервые пример такого многообразия был построен Дж. Милнором в 1956 (см. [1]); этот же пример - первый пример гомеоморфных, но не диффеоморфных многообразий.
Построение М. с. Любое гладкое замкнутое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере S", при
гомеоморфно (и даже кусочно линейно изоморфно) сфере
(см. Пуанкаре гипотеза обобщенная, h-кобпрдизм). Сигнатура замкнутого гладкого почти параллелизуемого многообразия размерности
делится на число sk , экспоненциально растущее с ростом k. Для любого кимеется параллелизуемое многообразие
сигнатуры 8 (именно, древовидное многообразие Милнора), край к-рого
есть при
гомотопическая сфера (см. [2]). Если бы Мбыло диффеоморфно сфере
, то многообразие
, полученное из
добавлением конуса над краем, было бы гладким почти параллелизуемым замкнутым многообразием сигнатуры 8. Таким образом, Месть М. с.
Имеется и др. пример М. с. (см. [5]).
Классификация М. с. Имеется 28 различных (не диффеоморфных) 7-мерных М. с. (в эти 28 многообразий включена стандартная сфера S 7, и в дальнейшем термин "М. с." используется и для обозлачения стандартной сферы S n).
Множество всех гладкостей на кусочно линейной сфере (точнее, сглаживаний, но для сфер это одно и то же) эквивалентно множеству элементов группы
Последняя группа при i<7 тривиальна, так что любая М. с. размерности, меньшей 7, диффеоморфна стандартной.
Пусть
- множество классов h-кобордантности n-мерных гладких многообразии, гомотопически эквивалентных сфере S n. Операция связной суммы превращает это множество в группу, где нуль - класс h- кобордантности сферы Sn. При n>5 элементы группы qn находятся во взаимно однозначном соответствии с классами диффеоморфности n-мерных М. с. Для вычисления групп qn n>5, задается (см. [3]) тривиализация стабильного нормального расслоения (оснащение) М. с. М п. Это возможно, так как М п стабильно параллелизуемо. Полученное оснащенное многообразие определяет элемент стабильной гомотопич. группы
Этот элемент зависит, вообще говоря, от выбора оснащения (
- "многозначное отображение"). Пусть
- подгруппа в
, состоящая из М. с, ограничивающих параллелизуемые многообразия. Построенное многозначное отображение индуцирует гомоморфизм
где
- стационарный Уайтхеда гомоморфизм и
-изоморфизм. Вычисление группы
сводится к задаче (нерешенной, 1982) вычисления группы
и вычисления группы
что делается посредством Морса перестроек пленки (при сохранении края). Пусть
, то есть
и
параллелизуемо. Если W- стягиваемое многообразие, то после вырезания в Wмаленького диска многообразие М h -кобордантно
, то есть
. Если пчетно, то можно так изменить Wпосредством перестроек Морса, что новое многообразие
будет стягиваемым (здесь требуется параллелизуемость многообразия Wи условие n>5). Итак,
Случай n+1 = 4k. Если сигнатура s(W). многообразия Wесть 0, то Wможно перестройками Морса превратить в стягиваемое многообразие, так что в этом случае Месть стандартная сфера. Если M=дW и M' = дW, то
(здесь
- связная сумма многообразий А и В). Если
, то
, так что инвариант
однозначно определяет элемент
Если
и
то
делится на
. Обратно, для любого
существует гладкое замкнутое многообразие
с
поэтому если
и
то
гле
параллелизуемо и
Элемент
полностью определяется вычетом
, и разные вычеты определяют разные многообразия. Так как
принимает любое значение, кратное 8, то
Случай n=4k+1. Пусть
. Если Кервера инвариант многообразия Wесть нуль, то есть
, то Wперестраивается до стягиваемого многообразия, то есть [M] = 0. Пусть теперь
Так как при
не существует гладкого замкнутого почти параллелизуемого (что в размерности
равносильно параллелизуемости) многообразия с инвариантом Кервера, не равным нулю, то Мне диффеоморфно
В этом случае
то есть
При
и тех значениях i, где существует многообразие с ненулевым инвариантом Кервера,
, то есть
но вопрос об описании всех таких не решен (1982), хотя при
ответ положителен. Итак,
есть
или 0.
Имеется другое представление М. с. Пусть в пространстве
W- алгебраическое многообразие с уравнением
и
есть (2п+1)-мерная сфера радиуса e(малого) с центром в начале координат. При подходящих значениях
есть М. с. (см. [4]). Напр., при n=4 и a1=6k-1, а 2=3, a3=a4=a5=2 и k=1, 2, . . ., 28 получаются все 28 7-мерных М. с.
Лит.:[1] Милнор Дж .,"Математика", 1957, т. 1, № 3, с. 35-42; [2] Мilnоr j., Kervaire М., в кн.: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1958, Camb., 1960, p. 454 - 58; [3] их же, "Ann. Math.", 1963, v. 77, № 3, p. 504-37: [4] Mилнор Дж., Особые точки комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971; [5] Милнор Д ж., Сташеф Дж., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979. Ю. Б. Рудяк.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.