МАТРИЦА

- прямоугольная таблица

состоящая из тстрок и n столбцов, элементы к-рой принадлежат нек-рому множеству К. Таблица (1) наз. также -матрицей над К, или мат-

рицей размера над K. Пусть - совокупность всех -матриц над К. Если т=п, то (1) наз. квадратной матрицей порядка га. Множество - совокупность всех квадратных М. порядка пнад К.

Для М. пользуются также обозначениями

В наиболее важных случаях в качестве Квыступают поле действительных чисел, поле комплексных чисел, произвольное поле, кольцо многочленов, кольцо целых чисел, кольцо функций, произвольное ассоциативное кольцо. Операции сложения и умножения, определенные на К., естественным образом переносятся на М. над Ки возникает матричное исчисление - предмет теории М.

Понятие М. впервые появилось в середине 19 в. в работах У. Гамильтона (W. Hamilton) и А. Кэли (A. Cayley). Фундаментальные результаты в теории М. принадлежат К. Вейерштрассу (К. Weierstrass), К. Жордану (С. Jordan), Г. Фробениусу (G. Frobenius). И. А. Лаппо-Данилевский развил теорию аналитич. функций многих матричных переменных и применил ее к изучению систем линейных дифференциальных уравнений.

Действия над матрицами. Пусть К- ассоциативное кольцо,

Тогда сумма М. Аи В, по определению, равна

Приятом и сложение М. ассоциативно и коммутативно. Нулевой М. из наз.

М. 0, все элементы к-рой равны нулю. Для всякой

Пусть Произведение М. А и В определяется но правилу

где

Произведение двух М. из М _n (К)всегда определено и принадлежит . Умножение М. ассоциативно:

если то

и ABC ОM_n,m (K). Верен и дистрибутивный закон: для

В частности, (2) верно и для Следовательно, - ассоциативное кольцо. Если К-

кольцо с единицей 1, то М.

будет единицей кольца :

для всех . Умножение М. некоммутативно:

при для любого ассоциативного кольца Кс единицей найдутся такие М. Аи Вв М _п (К), что

Пусть произведение М. A на элемент (число),по определению, равно Тогда

Пусть К- кольцо с единицей. М. определяется как М. в единственный ненулевой элемент к-рой равен 1 и расположен на позиции Для любой из

Если К- поле, то - векторное пространство над Кразмерности тп, а М.составляют один из базисов этого пространства.

Клеточная матрица. Пусть где и - целые положительные числа. Тогда М. можно записать в виде

где

наз. клеточной. Пусть , и Взаписана в виде

Тогда

Напр., если можно рассматривать как , где М. Аиз М _п (К). вида

где - нулевая М. из , обозначается и наз. клеточно-диагональной. Причем

если порядки A_i и В _i совпадают для i=l, . . ., к. Квадратные матрицы над полем. Пусть К- поле, det А- определитель матрицы А. М. А

наз. невырожденной, если . . М. наз. обратной к A, если . Обратимость Ав М _п (К)равносильна невырожденности и

где А _ij- алгебраическое дополнение элемента a_{i j}; det A^-1= (det А)^-1. Для Аи В из М _п (К)

Совокупность всех обратимых М. из М _п (К)образует группу относительно умножения, к-рая наз. полной линейной группой и обозначается . Степени М. Аопределяются следующим образом: для k>0, а если А обратима, то . Для многочлена

определяется матричный многочлен

Всякая М. из М _п (К)задает нек-рое линейное преобразование n-мерного векторного пространства V над К. Пусть базис в V, а - линейное преобразование пространства V. Тогда однозначно определяется последовательностью векторов

При этом

где . Матрица наз. М. преобразования в базисе . При фиксированном базисе М. А+В будет М. преобразования ,

а АВ- М. преобразования , где В- М. линейного преобразования . Равенства (4) можно записать в виде

Пусть - тоже базис в V. Тогда , , а - М. s в базисе . М. Аи Виз М _п (К)наз. подобными, если в найдется такая М. Т, что При этом det и ранги матриц Аи Всовпадают. Линейное преобразование наз. невырожденным, если ; тогда и только тогда невырождено, когда его М. невырождена. Если Vтрактовать как пространство столбцов , то линейное преобразование пространства Vпредставляет собой умножение столбцов на М. Аиз слева: , и М. преобразования в базисе

совпадает с А. М. тогда и только тогда вырождена, когда в существует такой столбец , что

Транспонирование и матрицы специального вида.

Пусть Тогда М. , где , наз. транспонированной к А. Матрица А ^т обозначается также ^t А и А'. Пусть Тогда М. где - число, комплексно-сопряженное с , наз. комплексно-сопряженной с А. Матрица , где , наз. эрмитово-сопряженной с А. Многие М., используемые в приложениях, имеют специальные названия.

Полиномиальные матрицы. Пусть К- поле, К[х]- кольцо всех многочленов от хс коэффициентами из К. М. над К[х]наз. полиномиальной. Для М. из кольца М _п (К[х]). вводятся элементарные операции: 1) умножение строки или столбца М. на ненулевой элемент поля К,2) прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца) М., умноженной на многочлен из К[х]. М. Аи Виз наз. эквивалентными , если Вможно получить из Ас помощью конечного числа элементарных операций.

Пусть

где: 1),2) делится на при , 3) коэффициенты старших членов многочленов равны 1. Тогда Nназ. канонической полиномиальной М. В каждом классе эквивалентных М. кольца М _п (К[х])содержится единственная ка-нонич. М. Многочлены

f₁(x),...,f_r(x) где

- каноническая М., а , наз. инвариантными множителями М. А;число rсовпадает с рангом М. А. Матрица Аиз М _п (К[х])тогда и только тогда имеет обратную в М _п (К[х]), когда . В свою очередь . Матрицы Аи Виз М _п( К,[х]). тогда и только тогда эквивалентны, когда

где

Пусть . Матрица

наз. характеристической матрицей матрицы А, а - характеристическим многочленом М. А. Для любого многочлена вида

в существует М. F, для к-рой

Такова, напр., матрица

Характеристич. многочлены двух подобных М. совпадают. Однако из совпадения характеристич. многочленов двух М. еще не вытекает подобие этих М. Критерий подобия: Аи В из М _п (К). тогда и только тогда подобны, когда полиномиальные М. хЕ _п- А и хЕ _п -Вэквивалентны. Множество всех М. из М _п (К), имеющих заданный характеристич. многочлен f(x), разбивается на конечное число классов подобных М., это множество состоит из одного класса тогда и только тогда, когда f(x)не имеет кратных множителей в К[х]. Пусть где . Тогда vназ. собственным вектором М. А, а - собственным значением. Элемент из Ктогда и только тогда является собственным значением М. А, когда - корень характеристич. многочлена М. А. Совокупность всех столбцов таких, что , где - фиксированное собственное значение М. А, является подпространством пространства . Размерность этого подпространства равна дефекту dM. (). Число dне превышает кратности корня , но не обязательно совпадает с ней. Матрица Аиа тогда и только тогда подобна нек-рой диагональной М., когда Аимеет п линейно независимых собственных векторов. Если для

и различны, то верно следующее: Атогда и только тогда подобна диагональной М., когда для каждого дефект М. совпадает с

В частности, М., имеющая празличных собственных значений, подобна диагональной. Для алгебраически замкнутого поля любая М. из М _п (К)подобна нек-рой треугольной М. из М _п (К)-Теорема Гамильтона - Кэли: пусть f(x)- характеристич. многочлен М. А, тогда f(A)- нулевая М.

Минимальным многочленом М. наз. многочлен такой, что: 1) т(А) = 0,2) коэффициент старшего члена т(х)равен 1, 3) если , а степень меньше степени т(х), то . Всякая М. обладает единственным минимальным многочленом. Если то g(x)делится на минимальный многочлен т(х)М. А. Минимальный многочлен М. Асовпадает с последним инвариантным множителем М.а характеристич. многочлен - с произведением всех инвариантных множителей. Минимальный многочлен М. равен

где -наибольший общий делитель миноров порядка n-1 М.. М. Аиз тогда и только тогда подобна диагональной М. над полем К, когда ее минимальный многочлен есть произведение различных линейных множителей из кольца К[х].

М. наз. нильпотентной, если для нек-рого целого k.M. нильпотентна тогда и только тогда, когда Любая нильпотентная М. из подобна нек-рой треугольной М. с нулевой диагональю.

Лит.:[1] Воеводин В. В., Линейная алгебра, М., 1974; [2] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; |3] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [4]

К урош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [5] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; [6] Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965; [7] Тышкевич Р. И., Феденко А. С., Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 2 изд., Минск, 1976; [8] Беллман Р.. Введение в теорию матриц, пер. с англ., 2 изд., М., 1976; [9] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [10] Ланкастер П., Теория матриц, пер. с англ., М., 1978; [11] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., М., 1972.

Д. А. Супруненко.