ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД


ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД

метод Греффе, метод Данделена,- метод для одновременного вычисления всех корней многочлена. Пусть корни r1, r2, . . ., r п многочлена

удовлетворяют неравенствам

В качестве приближений к корням могут быть взяты отношения

Пусть теперь корни f(z), хотя и не выполнено (2), все же различны по абсолютной величине. Л. м. заключается в применении к уравнению f(z) = 0 процесса квадрирования, к-рый при достаточном числе повторений приводит к уравнению с корнями, удовлетворяющими условиям (2). К в а д р и р о в а н и е состоит в переходе от очередного многочлена fr(z) к многочлену fr+1(z) той же степени, корни к-рого равны квадратам корней fr(z). Переход выполняется по рекуррентным формулам.

Применение Л. м. возможно и при наличии групп равных по абсолютной величине корней, хотя это приводит к осложнениям в логике и формулах метода. Достоинством метода является то, что не требуется знания начальных приближений к корням многочлена. В случае различных по абсолютной величине корней скорость сходимости процесса асимптотически квадратичная. '

Л. м. является, однако, численно неустойчивым, т. к. процесс квадрирования приводит к очень быстрому накоплению вычислительной погрешности. В связи с этим предпринимались попытки придать Л. м. самоисправляющуюся форму. Так, напр., для вычисления корней многочлена (1) строится последовательность многочленов gr(z) степени связанных соотношениями

отсюда

При каждом фиксированном kищутся многочлены определяемые следующим образом:

ДЛЯ

есть многочлен вида

имеющий степень

Если корни многочлена f(z)

удовлетворяют неравенствам

то

где f*(z) - многочлен f(z),.нормированный делением на коэффициент при старшем члене. Таким образом, из исходного многочлена выделяются множители, соответствующие группам равных по абсолютной величине корней (см. [3]). Л. м. предложен Н. И. Лобачевским в 1834 (см. [1]).

Лит.:[1] Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 4, М.- Л., 1948; [2] Б е р е з и н И. С., Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; [3] Sebastiao е S i l v a J., "Portug. Math.", 1941, №2. p. 271-79; [4] Householder A. S., S t e w a r t G. W., "SIAM Rev.", 1971, V. 13, p. 38 - 46. X. Д. Икрамов.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД" в других словарях:

  • Лобачевского метод —         метод приближённого (численного) решения алгебраических уравнений, найденный независимо друг от друга бельгийским математиком Ж. Данделеном, русским математиком Н. И. Лобачевским (в 1834 в наиболее совершенной форме) и швейцарским… …   Большая советская энциклопедия

  • МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ — способ построения теории, при к ром в ее основу кладутся нек рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых д о к а з а т е л ь с т в а м и. Правила, по к рым… …   Философская энциклопедия

  • АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ построения научной теории, при к ром в основу теории кладутся нек рые исходные положения, наз. аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логич. следствия аксиом. В математике А. м. зародился в работах… …   Математическая энциклопедия

  • Аксиоматический метод —         способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) аксиомы (См. Аксиома), или Постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы (См. Теорема)) должны выводиться… …   Большая советская энциклопедия

  • Лобачевский Николай Иванович — [20.11(1.12).1792, Нижний Новгород, ныне г. Горький, ≈ 12 (24).2.1856, Казань], русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель материалист, деятель университетского образования и народного просвещения. Родился в семье мелкого… …   Большая советская энциклопедия

  • Лобачевский —         Николай Иванович [20.11(1.12).1792, Нижний Новгород, ныне г. Горький, 12 (24).2.1856, Казань], русский математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель материалист, деятель университетского образования и народного просвещения.… …   Большая советская энциклопедия

  • Численное решение уравнений —         нахождение приближённых решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Ч. р. у. сводится к выполнению арифметических операций над коэффициентами уравнений и значениями входящих в него функций и позволяет найти решения уравнений с… …   Большая советская энциклопедия

  • Геометрия — (греч. geometria, от ge Земля и metreo мерю)         раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.          Происхождение термина «Г. , что… …   Большая советская энциклопедия

  • Лобачевский, Николай Иванович — родился 22 октября 1793 г. в Нижегородской губернии (по одному источнику в Нижнем Новгороде, по другому в Макарьевском уезде). Отец его Иван Максимович, выходец из Западного края, по вероисповеданию католик, потом перешедший в православную веру,… …   Большая биографическая энциклопедия

  • Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.