ЛИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

естественная операция на дифференцируемом многообразии, сопоставляющая дифференцируемому векторному полю Xи дифференцируемому геометрич. объекту Qна многообразии Мнек-рый новый геометрич. объект описывающий скорость изменения геометрич. объекта Qотносительно однопараметрич. группы преобразований j_t многообразия М, порожденной полем X. Геометрич. объект . наз. производной Ли геометрического объекта Qотносительно векторного поля X.

В частном случае, когда Qесть векторнозначная функция на М, ее производная Ли совпадает с производной функции Qпо направлению векторного поля Xи задается формулой

где - локальная однопараметрич. группа преобразований многообразия М, порожденная полем X, или в локальных координатах х ⁱ - формулой

В общем случае определение Ли д. состоит в следующем. Пусть W - нек-рое GL^k(n)-пространство, т. е. многообразие с фиксированным действием полной дифференциальной группы GL^k(n) порядка k(группы k-струй в нуле диффеоморфизмов ). Пусть ' - геометрич. объект порядка kтипа wна n-мерном многообразии М, рассматриваемый как GL^k(n)-эквивариантвое отображение главного GL^k(n)-расслоения кореперов P^kM k-то порядка на Мв W. Локальная однопараметрич. группа преобразований многообразия М, порожденная векторным полем Xна М, индуцирует локальную однопараметрич. группу преобразований многообразия кореперов P^kM. Ее поле скоростей

наз. полным лифтом поля Xна P^kM. Производная Ли геометрич. объекта Qтипа Мотносительно-векторного поля Xна Мопределяется как геометрич. объект . типа TW (где TW - касательное расслоение многообразия W, рассматриваемое естественным образом как GL^k(n)-пространство), задаваемый формулой

Значение производной Ли в точке зависит, и притом линейно, только от 1-струи в точке P_k отображения Qи от значения в этой точке векторного поля Х ^(k) (или, что эквивалентно, от k-струи поля Xв соответствующей точке ).

Если геометрич. объект Qлинеен, т. е. соответствующее GL^k(n)-пространство Wявляется векторным пространством с линейным действием группы GL^k(n), то-касательное многообразие TW естественным образом отождествляется с прямым произведением , и поэтому производную Ли

можно рассматривать как пару геометрич. объектов типа W. Первый из них есть само Q, а второй, обычно отождествляемый с самой производной Ли линейного геометрич. объекта Q, равен производной функции Qпо направлению векторного поля Х ^(k):

Таким образом, производную Ли линейного геометрич. объекта можно рассматривать как геометрич. объект того же типа, что и Q.

Локальные координаты х ⁱ в многообразии Мопределяют локальные координаты в многообразии Р ¹ М кореперов 1-го порядка:

В этих координатах производная Ли любого геометрич. объекта 1-го порядка (напр., тензорного поля) по направлению векторного поля

задается формулой

где

Аналогичная формула справедлива для производной Ли геометрич. объекта любого порядка.

Производная Ли в пространстве дифференциальных форм на многообразии Мвыражается через оператор внешнего дифференцирования dи оператор внутреннего умножения (определяемый как свертка векторного поля с дифференциальной формой) с помощью следующей формулы гомотопии:

Обратно, оператор внешнего дифференцирования d_r действующий на р-форму со, выражается через Ли д. по формуле

где означает, что соответствующий символ должен быть пропущен, - векторные поля.

В отличие от ковариантного дифференцирования, требующего введения связности, операция Ли д. определяется структурой дифференцируемого многообразия, а производная Ли геометрич. объекта Qпо направлению векторного поля Xявляется конкомитантом геометрич. объектов Xи Q.

Лит.:[1] Slebodzinski W., "Bull. cl. sci.Acad. roy. Belgique", 1931, v. 17, p. 864-70; [2] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967, с. 429-65; [3] Y a n о К., The theory of Lie derivatives and its applications, Amst., 1957; [4]. Стсрнберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [5] Вагнер В., "Докл. АН СССР", 1945, т. 46, с. 383-86; [6] Лаптев Б. Л., "Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу", 1956, т. 10, с. 227-48; [7] Евтушик Л. Е. "Докл. АН СССР", 1960, т. 132, с. 998 - 1001; [8] Р а 1 a i s R. S., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1954, v. 5, p. 902-08. Д. В. Алексеевский.