ЛЕБЕГОВСКИЙ СПЕКТР

- термин спектральной теории. Пусть А - самосопряженный, a U - унитарный операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н. Оператор А, соответственно U, имеет простой спектр Лебега, если он унитарно эквивалентен оператору умножения на в пространстве комплекснозначных функций к-рые определены на действительной оси соответственно на окружности

и для которых

где интегрирование ведется по обычной Лебега мере на соответственно на S¹, откуда и назв. Л. с. (см. Унитарно эквивалентные операторы). Для Uэто определение эквивалентно следующему: в Нсуществует такой ортонормированный базис что Далее, оператор имеет спектр Лебега, если Нможно разложить в ортогональную прямую сумму инвариантных подпространств, в каждом из к-рых оператор имеет простой Л. с. Хотя для данного оператора может быть много таких разложений, число "слагаемых" для кал дого из них одно и то же (оно может быть и бесконечным кардинальным числом). Это число наз. кратностью Л. с. Наконец, аналогичные понятия можно ввести для однопараметрич. группы унитарных операторов U(t), непрерывной в слабой (или, что в данном случае то же, сильной) операторной топологии. По теореме Стоуна где А - нек-рый самосопряженный оператор. Если Аимеет Л. с, нек-рой кратности, то говорят, что теми же свойствами обладает и U(t). Напр., группа U(t).имеет простой Л. с., если она унитарно эквивалентна группе в а та в свою очередь эквивалентна группе сдвигов в том же пространстве

Д. В. Аносов.