КЭЛЕРА МЕТРИКА

кэлерова метрика,- эрмитова метрика на комплексном многообразии, фундаментальная форма со к-рой замкнута, т. е. удовлетворяет условию П р и м е р ы К. м.: эрмитова метрика в пространстве Фубини - Штуди метрика в комплексном проективном пространстве метрика Бергмана (см. Бергмана кернфункция).в ограниченной области пространства К. м. на комплексном многообразии индуцирует К. м. на любом его подмногообразии. Всякая эрмитова метрика на одномерном многообразии кэлерова.

Понятие К. м. было впервые рассмотрено Э. Колером [1]. В то же время в алгебраич. геометрии систематически использовалась метрика на проективных алгебраич. многообразиях, индуцированная метрикой Фубини - Штуди (см. [5]). Эта метрика является метрикой Ходжа, т. е. ее фундаментальная форма имеет целочисленные периоды.

Эрмитова метрика hна комплексном многообразии является кэлеровой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет любому из следующих условий: параллельный перенос вдоль любой кривой (относительно связности Леви-Чивита) является комплексным линейным отображением, т. е. перестановочен с оператором комплексной структуры; соответствующий метрике h комплексный оператор Лапласа на дифференциальных формах удовлетворяет условию т. е. Лапласа оператор совпадает с в окрестности каждой точки существуют локальные координаты, в к-рых матрица метрики hсовпадает с единичной матрицей с точностью до бесконечно малых 2-го порядка (см. [3], [6]).

Лит.:[1] К a h l е r В.. "Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg", 1933, Bd 9, S. 173-86; [2] В е и л ь А., Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М., 1961; [31 Л и х н е р о в и ч А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [5] Н о d g e W. V. D.. The theory and applications of harmonic integrals, 2 ed., Camb., 1952; [6] Г р и ф ф и т с Ф. [и др.], "Успехи матем. наук", 1977, т. 32, в. 3, с. 119-52.

А. Л. Онищик.