- КОМПЛЕКС
- одно из основных, понятий гомологической алгебры. Пусть А- абелева категория. Градуированным объектом наз. последовательность
объектов К n из А. Последовательность а=( а п). морфизмов а n:
нез. морфизмом а:
градуированых объектов. Полагая K(h)n= Kn+h, можно определить объект К(h). Морфизм градуированных объектов 
наз. морфизмом степени hиз К' в К. Градуированный объект наз. положительным, если К n=0 для n<0, ограниченным снизу, если К(К)положителен для нок-рого h, и конечным, если К п=0 для всех, кроме конечного множества, чисел п. Цепной комплекс в категории Асостоит из градуированного объекта Ки морфизма d:
степени - 1 такого, что сР = О. Подробнее: d=(dn), где dn:
и dn-1dn=O для любого п. Морфизм цепных комплексов
это морфизм а:
градуированных объектов такой, что ad' = da. Двойственным образом (как градуированный объект с морфизмом dстепени +1) определяется коцепной комплекс.Наиболее часто рассматриваются К. в категориях абелевых групп, модулей, пучков абелевых групп на топологич. пространстве. Так, К. абелевых групп есть градуированная дифференциальная группа, дифференциал в к-рой имеет степень - 1 или +1.
С каждым цепным К. Ксвязаны три градуированные объекта:
- границы; 
-циклы;
- n-мерные гомологии (см. Гомологии комплекса).Для коцепного К. аналогичные объекты наз. кограницами, коциклами и когомологиями.
Если Н(К)=0, то говорят, что К. К- ацикличен.
Морфизм а:
. комплексов индуцирует морфизмы
и, следовательно, морфизм гомологии или когомологии
Два морфизма а, b:
наз. гомотопными (что обозначается 
), если существует такой морфизм s : К'->К(1)(или s : 
для коцепных К.) градуированных объектов (называемый гомотопией), что
(откуда следует, что Н(а)=Н(b)). Комплекс Кназ. стягиваемым, если
(в этом случае К. Кацикличен).Если
- точная последовательность К., то существует связывающий морфизм д:
. степени -1 (+1), естественный относительно морфизмов точных последовательностей и такой, что ассоциированная с ним длинная гомологическая последовательность (т. е. последовательность 
для цепного К. и последовательность
для коцепного К.) является точной.
Конус морфизма цепных комплексов а:
есть К. МС (а), определенный следующим образом:
Разложение К. МК (а)в прямую сумму приводит к точной последовательности К.
для к-рой ассоциированная длинная гомологич. последовательность изоморфна последовательности
Следовательно, цепной К. МК (а)ацикличен тогда и только тогда, когда Н(а)- изоморфизм. Аналогичные понятия и факты имеют место для коцепных К.
Лит.:[1] Басс X., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973.
А. В. Михалев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
