КОМИТАНТ

конкомитант, группы G, действующей на множествах Xи Y,- такое отображение что для любых В этом случае говорят также, что j коммутирует с действием G, или, что j - эквивариантное отображение. Если Gдействует на каждом множестве семейства то К. наз. совместным (или одновременным) К. группы G.

Понятие К. происходит из классической инвариантов теории, в к-рой, однако, К. понимается в более узком смысле: G- полная линейная группа нек-рого конечномерного линейного пространства U, X и Y - пространства тензоров на Uопределенного (вообще говоря, различного) типа, на к-рых Gдействует естественным образом, а j - эквивариантное полиномиальное отображение Xв У. Если, кроме того, У есть пространство коварнантных тензоров, то К. наз. ковариантом группы G, а если У - пространство контравариантных тензоров, то К. наз. контравариантом группы G.

Пример. Пусть f - бинарная кубическая форма от переменных хи у:

Ее коэффициенты являются координатами ковариантного симметрического тензора. Коэффициенты гессиана формы f , т. е. формы

также являются координатами ковариантного симметрического тензора и отображение

соответствующих пространств тензоров есть К. (так наз. К. формы f). Аналогично можно определить гессиан произвольной формы, к-рый также дает пример К. (см. Ковариант).

В современной геометрич. теории инвариантов под К. часто понимают любой эквивариантный морфизм где Xи Y - алгебраич. многообразия, снабженные регулярным действием алгебраич. группы G. Если Xи Y аффинны, то К. определяет гомоморфизм (и сам определяется им) G-модулей регулярных функций на многообразиях Y и Xсоответственно (k- основное поле).

Лит.:[1]Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.- Л., 1948; [2] Дьедонне Ж., Керрол Д ж., Мамфорд Д., Геометрическая теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974.

В. Л. Попов.