АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

аналитический морфизм,- морфизм аналитических пространств, рассматриваемых как окольцованные про странства. А. о. пространства в пространство есть пара , где

- непрерывное отображение, а

- гомоморфизм пучков колец на X. В случае комплексных пространств А. о. наз. также голоморфным отображением.

В случае, когда и - приведенные аналитич. ространства, гомоморфизм полностью определяется отображением п является обратным отображением ростков функций, отвечающим . Таким образом, в этом случае А. о.- это такое отображение , что для любого и любого имеет место

Слоем А. о.

в точке наз. аналитич. одпространство

пространства , где - пучок ростков функций, обращающихся в 0 в точке у. Если положить

то имеет место неравенство

Если - приведенные комплексные пространства, то для всякого множество

является аналитическим в X.

А. о. наз. плоским в точке является плоским модулем над кольцом . В этом случае неравенство (*) превращается в равенство. А. о. наз. плоским, если оно - плоское в каждой точке . Плоское А. о. комплексных пространств является открытым. Обратно, если открыто, гладко, а и все слои приведены, то - плоское А. о. Множество точек комплексного или жесткого аналитич. ространства X, у к-рых А. о. не является плоским, будет аналитическим в X. Если Xи Y - приведенные комплексные пространства, причем Xимеет счетную базу, то в Yсуществует открытое всюду плотное множество, над к-рым - плоское А. о. Если А. о.

комплексных пространств плоско, то множества тех , в к-рых слой не приведен или ненормален, являются аналитическими в

Пусть - А. о. приведенных комплексных пространств. Если , то существует стратификация

где - аналитич. множества и для больших r , со следующим свойством: всякая точка обладает такой окрестностью , что - локальное аналитич. множество в Y, все неприводимые компоненты ростка к-рого в точке имеют размерность r. В частности, если собственное, то - аналитич. множество в X. Этот факт является частным случаем теорем конечности для А. о.

Пусть - комплексные пространства, причем Xкомпактно. Тогда множество всех А. о. можно снабдить такой структурой комплексного пространства, что отображение

переводящее пару аналитично.

В частности, группа автоморфизмов компактного комплексного пространства Xявляется комплексной группой Ли, аналитически действующей на X.

Лит.: МRemmert R., "Math. Ann.", 1956, Bd 130, S. 410-41; [2] e г о же, там же, 1957, Bd 133, S. 328-70; ГЗ] Stein К., Analytischer Abbildungen allgemeiner analyti-scher Raume. Colloque de topologie, Strasbourg, Avril, 1954; [4] Frisch J., "Inventiones math.", 1967, Bd 4, S. 118-38.

Д. А. Пономарев.