- ИЕНСЕНА ФОРМУЛА
- соотношение, связывающее значения мероморфной функции внутри круга с ее граничными значениями на окружности и с ее нулями и полюсами. Пусть f(z)- мероморфная функция в круге
am,
и bv ,
-соответственно все нули и полюсы f(z), причем каждый нуль или полюс считается столько раз, какова его кратность или порядок. Если
то справедлива И. ф.:
в к-рой суммы распространены на все нули и полюсы f(z)внутри круга |z|<R; формула (1) получена И. Иенсеном [1]. Небольшое видоизменение позволяет приспособить формулу (1) и для случая f(0) = 0.
Справедлива и более общая формула, названная Р. Неванлинной формулой Пуассона - Иенсена и дающая значения ln |f(z)| в любой точке z=reiq, отличной от нулей и полюсов:
Формулу (2) можно рассматривать как обобщение Пуассона интеграла для круга. Точно так же, обобщая Шварца интеграл для круга, получают формулу Шварца - Иенсена:
Возможно также построение формул типа (1) - (3) для полуплоскости и других областей. Формулы (1) - (3) играют важную роль в распределения значений теории.
Широкое обобщение формул (1) - (3) получено М. М. Джрбашяном в его теории классов мероморфных функций (см. [3]). Ему удалось получить целое семейство таких формул, зависящее от нек-рого непрерывного параметра a,
. связанного с интегродифференциальным оператором Da, причем, напр., формула (3) оказывается частным случаем при a=0.
Формулы (1) и (2) обобщаются для субгармонич. функций (см. [4]) и(х)в шаре
евклидова пространства Rn,
следующим образом:
где s(R).- площадь сферы |y| = R в Rn, G(x, у) - Грина функция для шара |y|<R с полюсом в точке х,m - положительная мера, ассоциированная с субгармонич. функцией и(х). Первое слагаемое в формуле (4) - наименьшая гармоническая мажоранта функции и(х)в шаре
выраженная в виде интеграла Пуассона от граничных значений; второе слагаемое - потенциал Грина, в частных случаях вырождающийся в логарифмы модуля Бляшке произведений, фигурирующие в формуле (2), Формула (2) получается из (4) с учетом того, что ln |f(z)| для мероморфной функции f(z)есть разнoсть двух субгармонических функций; для функций последнего типа формула (4) также применима .
Пусть теперь f(z) - голоморфная функция многих комплексных переменных z= (z1, ... , zn),
в замкнутом поликруге
Большое значение имеет также легко выводимое из свойств плюрисубгармонических функций неравенство Иенсена, в случае n=1 непосредственно вытекающее из формулы (2):
где
- ядро Пуассона для поликруга Un, mn(j)- нормированная мера Хаара на остове
(см. [5], [6]). Неравенство (5) и нек-рые многомерные аналоги формулы (2) находят применения в современной многомерной теории распределения значений (см. [7]).
Лит.:[1] Jensen J. L., "Acta math.", 1899, v. 22, p. 359-64; [2] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [3] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., 1966; [4] Привалов И. И., Субгармонические функции, М.- Л., 1937; 15] Владимиров В. С, Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [6] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [7] Гриффите Ф., Кинг Дж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, пер. с англ., М., 1976.
Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.