ЗВЕЗДНОЙ АСТРОНОМИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

- задачи, возникающие при исследовании общих закономерностей строения, состава, динамики и эволюции звездных систем.

Основным типом уравнений, решаемых в задачах звездной статистики, являются уравнения, связывающие функции распределения видимых и истинных характеристик объектов. Это, как правило, интегральные уравнения для искомых функций распределения истинных характеристик. Напр., важное для исследования строения Галактики уравнение Шварцшильда:

в к-ром неизвестной в данном телесном угле со является функция распределения звезд по расстояниям Д(г), а функция распределения звезд по видимым звездным величинам А(то) и по абсолютным звездным величинам j>{М )известна по наблюдениям (M=m-5 lg r+5). Уравнение (1) имеет точное решение в характеристич. функциях. Трудность задачи состоит в том, что (т)известна лишь до нек-рой, предельной для телескопов, видимой звездной величины т.

Другим примером является уравнение типа Абеля:

связывающее наблюдаемую поверхностную звездную плотность (здесь и далее под звездной плотностью подразумевается плотность распределения звезд как объектов) F(r)сферически симметричного скопления звезд или галактик, имеющего радиус Л, с пространственной плотностью f(р).

Примером двумерного интегрального уравнения является уравнение, связывающее функции распределения видимых конфигураций j(x, h) и истинных конфигураций f(x, у )тройных звезд

где

оно получается в предположении, что все ориентации плоскости истинных конфигураций тройных звезд равновероятны; x и h (соответственно хи у)суть координаты третьего компонента тройной звезды, если (О, 0) - координаты первого и (0, 1) - второго компонентов.

Для звездной кинематики характерно решение избыточных систем условных уравнений, получаемых для отдельных звезд или для отдельных площадок неба.

Примеры: 1) Система для определения экваториальных компонентов X, Y, Z локальной скорости Солнца по наблюденным собственным движениям звезд m_a и m_d , их расстояниям rи экваториальным координатам a и d:

и лучевым скоростям звезд v_r:

2) Система

для определения коэффициентов Оорта Аи Вхарактеризующих угловую скорость w(R) вращения Галактики в районе Солнца:

и долготы галактич. центра l₀(l- галактич. долготы звезд, находящихся вблизи галактич. экватора).

Основным уравнением звездной динамики является уравнение Больцмана

где y - фазовая плотность, Ф - потенциал звездной системы. Так как звездная система самогравитирующая, уравнение (2) должно решаться совместно с уравнением Пуассона

При рассмотрении только регулярных сил (создаваемых всей системой в целом) звездной системы правая часть (2) равна нулю; при учете также и иррегулярных сил (возникающих при сближении звезд системы) нужно учитывать интеграл столкновений. Исследование уравнений (2) и (3) показывает, что в сферич. системах имеются два, а во вращающихся системах - три интеграла движения.

В гидродинамическом приближении рассматриваются гидродинамич. уравнения, получаемые из уравнения (2).

В теории иррегулярных сил звездных систем изменение скорости звезды часто рассматривается как непреригеный случайный процесс и решается уравнение Фоккера - Планка

где F(x, у, t)dv- вероятность того, что звезда в момент tимеет скорость vв промежутке [y, y+dy], если в начальный момент ее скорость была равна х. Здесь b и qсоответственно коэффициенты динамич. трения и диффузии, определяемые характеристиками звездного поля.

Более точное приближение дает рассмотрение изменения скорости звезды в рамках чисто разрывного случайного процесса. После нахождения плотности переходной вероятности Р( х, у )и плотности вероятности скачка р(х)решение уравнения Колмогорова

определяет функцию F(x, у, t). Ввиду наличия критической скорости в звездных системах уравнение (4) рассматривается также с поглощающим экраном.

При исследовании устойчивости звездных систем в уравнении Больцмана для равновесной системы рассматривают вариации фазовой плотности и потенциала. Это приводит к уравнениям, схожим с уравнениями, используемыми в физике при исследовании плазменных неустойчивостей. Существенной особенностью для звездных систем при решении этих уравнений является самогравитация и неаддитивность энергии.

При изучении распределения плотности р(а)во внешних галактиках решается интегральное уравнение

в к-ром v(R)- наблюдаемая круговая скорость вращения галактики, е- эксцентриситет ее меридианного сечения.

Лит.:[1] Паренаго П. П., Курс звездной астрономии, 3 изд., М., 1954; [2]3онн В., Рудницкий К., Звездная астрономия, пер. с польск., М., 1959; [3] Огородников К. Ф., Динамика звездных систем, М., 1958.

Т. А. Агекян.