- ГЕЛЛЕРСТЕДТА ЗАДАЧА
- краевая задача для уравнения типа Чаплыгина вида
в к-ром функция
возрастает,
при
. Искомая функция
задается на границе, состоящей из достаточно гладкого контура и кусков характеристик. Рассматриваемое уравнение эллиптично в полуплоскости
, параболично на линии у=0 и гиперболично при
. Гиперболич. полуплоскость покрывается двумя семействами характеристик, удовлетворяющих уравнениям
.
На линии
характеристики одного семейства переходят в характеристики другого семейства.
Пусть Е - односвязна'я область с границей, состоящей из достаточно гладкого контура Г при
и из кусков характеристик
и
при
, причем
,
- характеристики одного семейства, а
- другого (см. рис.). В Есправедлива теорема существования и единственности решений следующих краевых задач: функция
задается на
функция
задается на
Впервые эти задачи были изучены (для К(y)=
) С. Геллерстедтом [1] методами, развитыми Ф. Трикоми [2] для Трикоми задачи, и представляют собой обобщение последней. Г. з. имеют важные приложения в околозвуковой газовой динамике. Г. з. и родственные им задачи исследовались для нек-рых многосвязных областей и для линейных уравнений, содержащих младшие члены (см. [3]).
Лит.:[l] Gellerstedt S., "Arkiv for mat., astr. och fysik", 1938, Bd 26A, № 3, p. 1-32; [2] Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, пер. с итал., М., 1957; [3] Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа, М., 1970. Л. П. Купцов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.