Инвариантность (в математике)

Инвариантность, неизменность, независимость от физических условий. Чаще рассматривается И. в математическом смысле — неизменность какой-либо величины по отношению к некоторым преобразованиям (см. Инварианты). Например, если рассматривать движение материальной точки в двух системах координат, повёрнутых одна относительно другой на некоторый угол, то проекции скорости движения будут изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой, но квадрат скорости, а следовательно, и кинетическая энергия останутся неизменными, т. е. кинетическая энергия инвариантна относительно пространственных вращений системы отсчёта. Важным случаем преобразований являются преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (Лоренца преобразования). Величины, не изменяющиеся при таких преобразованиях, называются лоренц-инвариантными. Пример такого инварианта — так называемый четырёхмерный интервал, квадрат которого равен s212 = (x1 — x2)2 + (y1 — y2)2 + (z1 — — z2)2 — c2(t1 — t2)2, где x1, y1, z1 и x2, y2, z2 — координаты двух точек пространства, в которых происходят некоторые события, a t1 и t2 — моменты времени, в которые эти события совершаются, с — скорость света. Другой пример: напряжённости электрического Е и магнитного Н полей меняются при преобразованиях Лоренца, но E2 — H2 и (EH) являются лоренц-инвариантными. В общей теории относительности (теории тяготения) рассматриваются величины, инвариантные относительно преобразований к произвольным криволинейным координатам, и т. д.

Важность понятия И. обусловлена тем, что с его помощью можно выделить величины, не зависящие от выбора системы отсчёта, т. е. характеризующие внутренние свойства исследуемого объекта. И. тесно связана с имеющими большое значение сохранения законами. Равноправие всех точек пространства (однородность пространства), математически выражающееся в виде требования И. некоторой функции, определяющей уравнения движения (так называемая лагранжиана) относительно преобразований переноса начала координат, приводит к закону сохранения импульса; равноправие всех направлений в пространстве (изотропия пространства) — к закону сохранения момента количества движения; равноправие всех моментов времени — к закону сохранения энергии и т. д. (Нётер теорема).

В. И. Григорьев.