Идеал (алгебраич. понятие)

Идеал (математический), одно из основных алгебраических понятий. Возникнув первоначально в связи с изучением алгебраических иррациональных чисел, И. нашли впоследствии многочисленные применения в других отделах математики.

Известно, что всякое целое (рациональное) число можно разложить в произведение простых множителей; например, 60 = 2 · 2 · 3 · 5, причём разложение единственно с точностью до порядка и знака множителей:

В 19 в. математики столкнулись с необходимостью разлагать на множители числа более общей природы. Если, например, рассматривать числа вида

где m и n — любые целые (рациональные) числа, то так же, как и для обычных целых чисел, здесь каждое число всегда можно разложить в произведение далее неразложимых множителей. Однако в этом случае нарушается единственность разложения. Так, число 9 (которое получается, если считать m = 9, n = 0) допускает здесь два различных разложения:

причем ни один из множителей

дальше разложить в произведение чисел вида

нельзя. Нарушения привычных законов единственности разложения не будет, если свойство делимости связывать не с числами, а с И. В современной алгебре И. вводятся в произвольных кольцах. В случае числовых колец (таковым является, например, рассмотренная выше совокупность чисел вида

И. называются также идеальными числами. И. — это совокупность чисел, принадлежащих данному числовому кольцу (а в случае произвольного кольца — совокупность его элементов), обладающая следующими свойствами: 1) сумма и разность двух чисел (элементов) совокупности принадлежит этой совокупности; 2) произведение числа (элемента) из этой совокупности на любое другое число (на любой другой элемент) кольца также принадлежит этой совокупности. Затем рассматривают вместо чисел соответствующие им И.; так, например, числу 9 соответствует И. p = (9), состоящий из всех чисел, делящихся на 9.

Числовые понятия, связанные с делимостью чисел, переносятся на И.: один И. делится на другой, если любой элемент первого лежит также и во втором (для чисел это эквивалентно тому, что любое число первого И. делится хотя бы на одно число второго); произведение И. определяется как наименьший И., содержащий всевозможные попарные произведения элементов из обоих идеалов-множителей; наибольший общий делитель двух И. — наименьший И., содержащий элементы как первого, так и второго И., и др. В совокупности целых чисел любой И. состоит из кратных какого-либо фиксированного числа: любой И. является главным. В общем случае, уже для алгебраических иррациональных чисел, не всякий И. является главным. Делимость на главный И. эквивалентна делимости на соответствующее этому И. число. Благодаря наличию не главных И. для целых алгебраических чисел остаётся справедливой теорема о том, что любой И. единственным образом разлагается в произведение неразложимых далее И. Эти неразложимые И., называются также простыми И., выполняют роль простых чисел и характеризуются тем, что обязательно содержат хотя бы один из множителей, если они содержат их произведение. Так, в рассмотренном выше примере

(3) = p1 p2,

где

и

— новые И., например И. p1, являющийся наибольшим общим делителем И.

состоит из всех чисел вида

где k и l — любые целые рациональные числа.

Понятие «И.» (или в первоначальной терминологии «идеального числа») было введено в 1847 для одного частного случая числовых полей немецким математиком Э. Куммером. Строгое и полное обоснование теории И. для любых числовых полей дали независимо друг от друга немецкий математик Р. Дедекинд в 1871 и русский математик Е. И. Золотарев в 1877. Новое содержание теория И. получила в середине 20 в. в связи с развитием общей теории колец.

Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1—2, М.—Л., 1947.