- Двойной ряд
-
выражение видаu11 + u12 + ... + u1n + ...+ u21 + u22 + ... + u2n + .......................................+ um1 + um2 + ... + umn + ........................................,составленное из элементов бесконечной матрицы ||umn|| (m, n = 1, 2, ...); эти элементы могут быть числами (тогда Д. р. называются числовым), функциями от одного или нескольких переменных (функциональный Д. р.) и т. д. Для Д. р. принята сокращённая записьumn называется общим членом Д. р.Конечные суммыназываются частичными суммами Д. р. Если существует пределкогда m и n независимо друг от друга стремятся к бесконечности, то этот предел называется суммой Д. р. и Д. р. называются сходящимся. Теория сходимости Д. р. значительно сложнее соответствующей теории для простых Рядов; например, в отличие от простых рядов, из сходимости Д. р. не вытекает, что его частичные суммы ограничены.Выражениеназывается повторным рядом. Его надо понимать в том смысле, что сначала вычисляются суммывсех внутренних рядов, а затем рассматривается рядсоставленный из этих сумм. Если повторный ряд (1) сходится и имеет сумму S, то её называют суммой Д. р. по строкам. Аналогично определяется сумма S' Д. р. по столбцам. Из сходимости Д. р. не вытекает, что сходятся внутренние Рядытак что суммы по строкам и по столбцам могут и не существовать. Напротив, если Д. р. расходится, то может оказаться, что существуют суммы по строкам и по столбцам и S ≠ S'. Однако, если Д. р. сходится и имеет сумму S и существуют суммы по строкам и по столбцам, то каждая из этих сумм равна S. Это обстоятельство постоянно используется при фактическом вычислении суммы Д. р.Наиболее важными классами Д. р. являются двойные степенные ряды, двойные ряды Фурье и квадратичные формы с бесконечным числом переменных. Для Д. р. Фурьеодним из стандартных пониманий суммы таких рядов является следующее: образуются круговые (или сферические) частичные суммыгде суммирование распространяется на всевозможные пары целых чисел (m, n), для которых m2 + n2 < N, и рассматривается предел Эллиптические функции) Вейерштрасса.Кратный ряд (точнее, s-кpaтный ряд) есть выражение видаΣm, n, …, pumn … q,составленное из членов таблицы ||umn...p||. Каждый член этой таблицы занумерован s индексами m, n, ..., р, и эти индексы пробегают независимо друг от друга все натуральные числа. Теория кратных рядов совершенно аналогична теории Д. р.Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.С. Б. Стечкин.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.