Флуктуации

(от лат. fluctuatio – колебание)

        случайные отклонения наблюдаемых физических величин от их средних значений. Ф. происходят у любых величин, зависящих от случайных факторов и описываемых методами статистики (см. Случайный процесс). Количественная характеристика Ф. основана на методах математической статистики (См. Математическая статистика) и вероятностей теории (См. Вероятностей теория). Простейшей мерой Ф. величины х служит её Дисперсия σ²_x, т. е. средний квадрат отклонения х от её среднего значения 2_x = где черта сверху означает статистическое усреднение. Эквивалентной мерой Ф. является Квадратичное отклонение Ox, равное корню квадратному из дисперсии, или его относительная величина δ_x = σ_х/х.

         В статистической физике (См. Статистическая физика) наблюдаемые значения физических величин очень близки к их средним статистическим значениям, т. е. Ф., вызванные случайным тепловым движением частиц (например, Ф. средней энергии, плотности, давления), очень малы. Однако они имеют принципиальное значение, ограничивая пределы применимости термодинамических понятий лишь большими (содержащими очень много частиц) системами, для которых Ф. значительно меньше самих флуктуирующих величин. Существование Ф. уточняет смысл второго начала термодинамики (См. Второе начало термодинамики): утверждение о невозможности вечного двигателя 2-го рода остаётся справедливым, но оказываются возможными Ф. системы из равновесного состояния в неравновесные, обладающие меньшей энтропией (См. Энтропия); однако на основе таких Ф. нельзя построить вечный двигатель 2-го рода. Для средних величин остаётся справедливым закон возрастания энтропии в изолированной системе.

         Основы теории Ф. были заложены в работах Дж. Гиббса, А. Эйнштейна, М. Смолуховского (См. Смолуховский).

         С помощью Гиббса распределений (См. Гиббса распределение) можно вычислить Ф. в состоянии статистического равновесия для систем, находящихся в различных физических условиях; при этом Ф. выражаются через равновесные термодинамические параметры и производные потенциалов термодинамических (См. Потенциалы термодинамические). Например, для систем с постоянным объёмом V и постоянным числом частиц N, находящихся в контакте с термостатом (с температурой Т), каноническое распределение Гиббса даёт для Ф. энергии (Е): kT)²C_V, где k – Больцмана постоянная, C_V – теплоёмкость при постоянном объёме. Такое же выражение для Ф. справедливо и в случае квантовой статистики, различаются лишь явные выражения для C_V. Для систем с постоянным объёмом в контакте с термостатом и резервуаром частиц большое каноническое распределение Гиббса даёт для Ф. числа частиц: Химический потенциал. В приведённых примерах флуктуируют пропорциональные объёму (т. н. экстенсивные) величины. Их относительные квадратичные Ф. N (нормальные Ф.) и, следовательно, очень малы. В точках фазовых переходов Ф. сильно возрастают, и их относительное убывание с N может быть более медленным.

         Для более детальной характеристики Ф. нужно знать функцию распределения их вероятностей. Вероятность w (x₁,..., х_п) Ф. некоторых величин x₁,..., х_п из состояния неполного термодинамического равновесия с энтропией S (,..., ) в состояние с энтропией S (x₁,..., х_п) определяется формулой Больцмана:

         w (x₁,..., х_п)/w (χ̅₁,..., x̅_n) = exp {S (x₁,..., х_п) – S (χ̅₁,..., x̅_n)}

        (поскольку энтропия равна логарифму статистического веса (См. Статистический вес), или термодинамической вероятности состояния). Под энтропией состояния неполного равновесия понимают энтропию вспомогательного равновесного состояния, которое характеризуется такими же средними значениями x_i, как и данное неравновесное. Для малых Δx_i = x_i – x_i эта формула переходит в распределение Гаусса:

         w (x₁,..., х_п) = А,

        где А – константа, определяемая из условия нормировки вероятности к 1.

         Можно найти не только Ф. величин x_i, но и корреляции между ними (температура связана со средней энергией), объёма и давления: А (х, t), В (х, t), зависящих от координат (x) и времени (t), вообще говоря, имеют место пространственно-временные корреляции между их Ф. в различных точках пространства в различные моменты времени:

        

        функции F называются пространственно-временными корреляционными (или коррелятивными) функциями и в состоянии статистического равновесия зависят лишь от разностей координат и времени. Функции F для плотности (n) числа частиц

         Ф. связаны с неравновесными процессами (См. Неравновесные процессы). Такие неравновесные характеристики системы, как кинетические коэффициенты (см. Кинетика физическая), пропорциональны интегралам по времени от временных корреляционных функций потоков физических величин (формулы Грина – Кубо). Например, электропроводность пропорциональна интегралу от корреляционных функций плотностей токов, коэффициенты теплопроводности, вязкости, диффузии пропорциональны соответственно интегралам от корреляционных функций плотностей потоков тепла, импульса и диффузионного потока.

         В общем случае существует связь между Ф. физических величин и диссипативными свойствами системы при внешнем возмущении. Реакция системы на некоторое возмущение (т. е. соответствующее изменение некоторой физической величины) определяется т. н. обобщённой восприимчивостью, мнимая часть которой пропорциональна фурье-компоненте временной корреляционной функции возмущений, связанных с данным воздействием (флуктуационно-диссипативная теорема).

         Ф. в системах заряженных частиц проявляются как хаотические изменения потенциалов, токов или зарядов; они обусловлены как дискретностью электрического заряда, так и тепловым движением носителей заряда. Эти Ф. являются причиной электрических Шумов и определяют предел чувствительности приборов для регистрации слабых электрических сигналов (см. Флуктуации электрические).

         Ф. можно наблюдать по рассеянию света: случайные изменения плотности среды из-за Ф. вызывают случайные изменения по объёму показателя преломления, и в однородной по составу среде или даже в химически чистом веществе может происходить рассеяние света, как в мутной среде. Это явление особенно заметно в бинарных растворах при температуре, близкой к критической температуре расслаивания, – т. н. критическое рассеяние света. Ф. также очень велики в критической точке равновесия жидкость – пар (см. Критические явления). Ф. давления проявляются в броуновском движении (См. Броуновское движение) взвешенных в жидкости (или газе) малых частиц под влиянием нескомпенсированных точно ударов молекул окружающей среды.

         Лит.: Эйнштейн А., Смолуховский М., Брауновское движение. Сб., пер. с нем., М. – Л., 1936; Леонтович М. А., Статистическая физика, М. – Л., 1944; Мюнстер А., Теория флуктуаций, в сборнике: Термодинамика необратимых процессов, пер. с англ., М., 1962; Зубарев Д. Н., Неравновесная статистическая термодинамика, М., 1971; Левин М. Л., Рытов С. М., Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике, М., 1967. См. также лит. при ст. Статистическая физика.

         Д. Н. Зубарев.