Наибольшие и наименьшие показатели

Способ Н. и наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного у в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного х в тех случаях, когда х и у связаны уравнением вида f(x,y) = 0. Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет:

Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного у по степеням переменного x, т. е. в нахождении для разложения:

y = Ax^α + By^β + Cy^γ

показателей: α, β, γ.. . и коэффициентов: А, В, С.. . Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т. е. что: α ( β ( γ... Вставив в данное уравнение (1) вместо у величину Ax^α получим:

если α наименьший показатель в искомом разложении, то (по Ньютону) среди величин:

(3)... m₀ + m₀α; m₁ + m₁α; m₂ + m₂α.. .

найдутся по крайней мере две, которые будут равны между собой и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении α сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения α и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу. Для определения коэффициента А, вставим один из найденных наименьших показателей вместо α в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного x. Таким образом получим уравнение, из которого определится А. Найдя α и А, полагаем:

у = Ах^α + y₁

Вставляя эту величину переменного у в данное уравнение (1), получим уравнение вида F(x,y₁) = 0, с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, причем найдем второй член Вх^β искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного х в разложении у, которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного α. Затем, полагая

у₁ = Вх^βу₁₁

преобразуем уравнение F(y,x₁) = 0 в уравнение F₁(x,у₁₁) = 0 и продолжаем вычисление для определения Cy^γ и дальнейших членов разложения. Для нахождения таких значений α, при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собой и меньшими остальных, служит табличка (см. ниже). Пусть дано уравнение:

(1)'.. . x²y³ — 3x³y² — 3y² + xy + x⁴ + 1 = 0

Вставляя в него вместо у величину Ах, получим:

(2)'.. . A³х^{3α + 2} — 3A²x^{2α +3} — A²x^2α + Ax ^{α + 1} + 1 = 0

Показатель 2 α + 3 второго члена уравнения (2) не следует принимать в рассмотрение, потому что он при всяких α более показателя 2 α третьего члена. Ряд, соответственный ряду (3) изложенной выше теории, будет:

(3)'.. . 3α + 2; 2α; α + 1; 0.

Найдя всевозможные уравнения, составленные из этих величин, как то:

3α + 2 = 2α;

3α + 2 = α + 1

и проч. и вставляя в ряд (3) определенные из этих уравнений значения α, составляем табличку:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

|                                | I           | II              | III              | IV          | V         | VI            |

| Величины ряда (3)'  |------------------------------------------------------------------------------------------------|

|                                | = — 2   | α = —¹/₂   | α = —²/₃   | α = + 1   | α = 0   | α = — 1   |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 3α + 2                     | — 4      | + ¹/₂         | 0              | 5            | 2         | + 1           |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 2α                           | — 4      | — 1          | — ⁴/₃        | 2            | 0         | — 2         |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| α + 1                       | — 1      | ¹/₂            | ¹/₃             | 2            | 1         | 0              |

|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 0                             | 0          | 0              | 0              | 0            | 0         | 0              |

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Началу наименьших показателей удовлетворяет только α = — 2 и α = 0, потому что только в 1-м и V-м столбцах мы находим величины, равные между собой и меньшие сравнительно с другими величинами своего столбца; именно в 1-м столбце число — 4 стоит против 3α + 2 и против 2α, в V-м столбце число 0 стоит против 2α и против 0. Напр. IV столбец и соответственная ему величина α = + 1 не годятся, потому что, хотя в этом столбце число 2 встречается два раза, но в нем же есть число 0, которое меньше чем 2. Итак, возможны два допущения для первого члена искомого разложения: А₁х^{— 2} и А₂х⁰. Для определения А₁ замечаем, что при подстановке — 2 вместо α в уравнение (2)' окажутся равными показатели членов: A³х^{3α + 2} и A²x^2α. Приравнивая сумму их коэффициентов нулю, получим: А³ — А² = 0, откуда А₁ = 1. Точно так же найдем (из подстановки числа 0 вместо α), что А₂ = ± 1. Итак, получим три разложения:

у = x^{— 2} +.. .

у = + 1 +.. .

y = — 1 +.. .

Указанным в приведенной выше теории порядком найдем и остальных членов этих разложений. Остановимся, напр., на первом разложении. Первый член его мы нашли равным x^{— 2}. Чтобы найти следующий член, полагаем: у = x^{— 2} + y₁. Вставив эту величину у в данное уравнение, получим:

x²(x^{— 2} + y₁)³ — (3x³ + 1) (x^{— 2} + y₁)² + x(x^{— 2} + y₁) + x⁴ + 1 = 0

поступая с полученным уравнением подобно тому, как поступали с данным, определим В и β и так далее. В получаемом таким путем разложении по восходящим степеням переменного х можно пренебрегать высшими степенями этого переменного, если х небольшая величина. Если же х величина большая, то можно пренебрегать его малыми степенями, а потому в этом случае удобнее стремиться найти разложение у по нисходящим степеням переменного х. В этом случае прибегают к способу Н. показателей, совершенно сходному со способом показателей наименьших. Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении: "Methodus fluxionum et serierum infinitarum cum ejusdem applicatione ad curvarum geometriam". Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера: "Introduction à l'analyse des lignes courbes algebriques" (1750). Лиувилль применил этот способ к вычислению некоторых симметрических функций: "Jonrnal des Mathématiques pures et appliquées" (т. VI). Пюизе прилагал этот способ к теории алгебраических функции, Бугаев — к теории дифференциальных уравнений: "Математический Сборник" (т. XVI). Геометрическое построение, соответствующее этому способу, изложено в "Аналитической Геометрии" Д. А. Граве. В аналитической форме способ Н. и наименьших показателей изложен у Serret в его "Cours d'algèbre superieure" (т. II) и у Бугаева в его ст.: "Различные приложения начала Н. и наименьших показателей к теории алгебраических функций" ("Матем. Сборник", т. XIV).

Н. Д.