Максимум (математич.)

— М. называется вообще наибольшая величина из рассматриваемых величин. В математическом анализе этим словом обозначается то значение функции, начиная от которого она как при увеличении независимых переменных, так и при их уменьшении убывает. Максимальное значение функции более всех соседних ее значений, но оно может быть менее других ее максимальных значений; наибольшее из всех максимальных значений называется М.-максиморум (maximum maximorum). Рассмотрим функцию одного переменного x. Из определения математического максимума следует, что если с увеличением x функция сначала увеличивается, а затем начинает убывать, то она имеет М. именно в том месте (при том значении переменного x), в котором прибывание ее переходит в убывание. Известно, что первая производная функции положительна, если функция прибывает с увеличением переменного, и отрицательна, если функция с увеличением переменного убывает. От положительного значения к отрицательному производная должна перейти через нуль. Следовательно, при том значении переменного, которому соответствует М. функции, производная ее должна быть равна нулю. Это дает возможность определять те значения x, при которых функция достигает М.; вставив же это значение x в функцию, получим величину максимального значения функции. Необходимо, однако, заметить, что если при увеличении переменного функция сначала уменьшается, а затем начинает увеличиваться, то производная, переходя от отрицательного к положительному значению, тоже должна перейти через нуль, между тем как при этом функция достигает не максимального, а минимального значения (наименьшего сравнительно с соседними). Поэтому надо установить критериум для отличия М. от минимума. Но не трудно видеть, что, переходя от положительного значения к отрицательному, что соответствует М., производная уменьшается и, следовательно, производная производной, т. е. вторая производная, отрицательна; при переходе же от отрицательного к положительному значению, что соответствует минимуму, вторая производная вследствие возрастания первой производной положительна. Итак, если требуется найти М. функции f(x), то определяют соответствующие значения x из уравнения f'(x) = 0. Вставляя эти значения в f(x), получим ее М., если f"(x) < 0 и минимумы, если f"(x) > 0. Подобного же рода рассуждениями руководствуются и при нахождении М. и минимумов функций многих переменных. Весьма многие задачи приводятся к нахождению М. и минимумов (см. Минимум).

Н. Делоне.