Максимум

Максимум (математич.) - М. называется вообще наибольшая величина израссматриваемых величин. В математическом анализе этим словомобозначается то значение функции, начиная от которого она как приувеличении независимых переменных, так и при их уменьшении убывает.Максимальное значение функции более всех соседних ее значений, но ономожет быть менее других ее максимальных значений; наибольшее из всехмаксимальных значений называется М. максиморум (maximum maximorum).Рассмотрим функцию одного переменного х. Из определения математическогомаксимума следует, что если с увеличением х функция сначалаувеличивается, а затем начинает убывать, то она имеет М. именно в томместе (при том значении переменного х), в котором прибывание еепереходит в убывание. Известно, что первая производная функцииположительна, если функция прибывает с увеличением переменного иотрицательна, если функция, с увеличением переменного, убывает. Отположительного значения к отрицательному производная должна перейти чрезнуль. Следовательно, при том значении переменного; которомусоответствует М. функции, производная ее должна быть равна нулю. Этодает возможность определять те значения х, при которых функция достигаетМ.; вставив же это значение х в функцию, получим величину максимальногозначения функции. Необходимо, однако, заметить, что, если при увеличениипеременного функция сначала уменьшается, а затем начинает увеличиваться,то производная, переходя от отрицательного к положительному значению,тоже должна перейти чрез нуль, между тем как при этом функция достигаетне максимального, а минимального значения (наименьшего сравнительно ссоседними). Поэтому надо установить критериум для отличия М. отминимума. Но не трудно видеть, что переходя от положительного значения котрицательному, что соответствует М., производная уменьшается и,следовательно, производная производной, т. е. вторая производная,отрицательна; при переходе же от отрицательного к положительномузначений, что соответствует минимуму, вторая производная, вследствиевозрастания первой производной, положительна. Итак, если требуется найтиМ. функции f(x), то определяют соответствующие значения х из уравненнияf' (х) = 0. Вставляя эти значения в f(х), получим ее М., если f"(x) 0. Подобного же рода рассуждениямируководствуются и при нахождении М. и минимумов функций многихпеременных. Весьма многие задачи приводятся к нахождению М. и минимумов. Н. Делоне.