Истечение

если две материальные среды отделены друг от друга стенкой, имеющей отверстия, и давления, под которыми находятся эти среды, неодинаковы, то среда, находящаяся под большим давлением, исходит в соседнюю среду в виде струи - потока первой среды, ограниченного со всех сторон второй средой. Это явление называется истечением. И. происходит или под влиянием внешних сил, или под влиянием силы тяжести, или, наконец, под совокупным их действием. От И. нужно отличать выход одной среды в другую, находящуюся под тем же давлением, под влиянием одних внутренних (молекулярных сил); это явление есть диффузия (см.). И. тел наблюдается при всех трех состояниях их — твердом, жидком и газообразном. Легче и чаще всего наблюдается И. жидкостей, и поэтому И. изучено почти исключительно на жидкостях; найденные законы с успехом применены были впоследствии к твердым телам и газам. Теория И. составляет одну из важных глав гидродинамики — учения о движении жидкостей; практическая ее сторона и приложения рассматриваются в гидравлике или гидротехнике.

1) И. жидкостей. Предполагая жидкость несжимаемой и не имеющей внутреннего трения, СПб. академик Д. Бернулли (1726) дал следующий основной закон для струй: если назовем скорость струи в одном ее сечении V₁, давление в ней в этом месте р₁, те же величины для другого сечения V₀ и p₀, разницу по высоте этих двух сечений h, ускорение силы тяжести — g, a плотность жидкости ω, то

(V₁² — V₀²)/2g = h + (p₀ — p₁)/ω.. . (1).

Прилагая это уравнение к И. жидкости из отверстия в весьма тонкой стенке и полагая, что один конец струи есть внешняя поверхность жидкости с сечением q₀, а другой — отверстие с сечением q₁, и заметив, что для неразрывности струи необходимо, чтобы V₀q₀ = V₁q₁, находим общее выражение для скорости И.

V₁² = [2gh + 2(p₁ — p₀)/ω]/[1 — (q₁/q₀)²].. . (2).

Если положим, что сечение q₁ отверстия совершенно незначительно в сравнении с сечением q₀ внешней поверхности, давления р₁ и р₀ одинаковы и И. жидкости происходит под влиянием одной силы тяжести, то получим

V₁² = 2gh, или V₁ = √(2gh).. . (3)

основной простой закон И. жидкостей под влиянием силы тяжести, опытно найденный (1643) Торричелли и опубликованный им в его сочинении "De Motu gravium projectorum". Этот закон, которым обыкновенно и пользуются в практической гидравлике, гласит, что скорость И. пропорциональна корню квадратному из высоты уровня жидкости над отверстием и из ускорения силы тяжести. Справедливость этого закона многократно проверялась от времен Торричелли до нашего времени на опытах различных исследователей (Гуглиельмини — XVII ст., Л. Вебер — 1879 г., Вотье — 1888 г. и др.) и найдена справедливой до 1/3% (Вотье). Из формулы (3) видно, что если в двух случаях И. высоты уровней относятся как 1:4, то соответственные скорости И. будут относиться, как 1:2, и что отношение скоростей И. на экваторе и полюсе будет относиться, как √(g_экв.): √(g_пол.), т. е. как √(978,1):√(983,1). Замечательно, что той же формулой (3) выражается скорость тела, упавшего с высоты h, или скорость, которую следует придать телу, чтобы оно с земли поднялось вверх на высоту h. Если отверстие в дне сосуда, то жидкость, как брошенное из отверстия тело, падает вертикальной струей вниз. Если же отверстие находится в боковом придатке сосуда и обращено кверху, то жидкость поднимается фонтаном вверх, до высоты уровня жидкости (см. Фонтан); в действительности вследствие трения воздуха и давления падающей уже вниз жидкости на подымающуюся струю и др. причин (см. ниже) высота фонтана никогда не достигает высоты уровня, а меньше ее; по Мариотту (1686), для достижения высоты фонтана в h париж. фт. нужна разность уровней не в h фт., но в h(1 + h/300); позже Вейсбах дал более близкие к истине формулы для высоты фонтанов. Если отверстие сделано сбоку сосуда, то жидкость, следуя совокупному действию силы, выжимающей ее в горизонтальном направлении из отверстия, и силе тяжести, влекущей ее вертикально вниз, падает на землю струей, имеющей форму параболы, подобно тому, как падает брошенный горизонтально с той же скоростью камень. Из свойств параболы и формулы (3) выводим: 1) расстояния точек падения струи от основания сосуда относятся, как корни квадратные из высот уровня над отверстием; 2) расстояния точек падения пропорциональны корням квадратным из высот отверстия над поверхностями, на которые струи падают; 3) две струи, из которых одна на столько же ниже уровня жидкости, на сколько другая выше поверхности падения, попадают на этой поверхности в точки, равноотстоящие от основания сосуда. В закон Торричелли не входят величины, характеризующие жидкость, следовательно, скорость И. всех жидкостей одинакова; не нужно забывать, что это справедливо лишь для равных высот уровня, но не для равных давлений на жидкость — при равных давлениях скорости И. разных жидкостей обратно пропорциональны корням квадратным из их плотностей; так, напр., из парового котла с общим для воды и пара давлением в 8 атм. пар вытекает в 15 раз быстрее воды (Рэнкин). Небольшую разницу в скорости И. разных жидкостей производит их внутреннее трение (см. ниже). Если И. жидкости происходит из нескольких боковых отверстий, находящихся одно над другим, то законы И. весьма усложняются; скорость И. из какого-либо отверстия в этом случае менее той скорости, которая была бы, если над ним не было бы других отверстий.

До сих пор все относилось к тому случаю И., когда уровень во все время И. поддерживается постоянным; если же уровень не поддерживается постоянным, то он по мере И. падает все медленнее и медленнее ввиду все большего и большего уменьшения высоты уровня, и, наконец, И. прекращается, когда жидкость достигнет уровня отверстия. В гидравлике доказывается, что время, потребное на такое опорожнение сосуда, в два раза больше, чем время, в которое при неизменном первоначальном уровне выльется одинаковый объем жидкости. Для устройства водяных и песочных часов важно придать сосуду такую форму, чтобы во все время И. уровень в каждую единицу времени опускался на одну и ту же величину; теория дает для такого сосуда форму, похожую на форму цветка тюльпана, и приблизительно в такой форме и устраиваются эти часы. Если сосуд, из которого происходит И., сверху закрыть, то по мере И. воздух над жидкостью разрежается, давление на жидкость уменьшается, скорость И. замедляется и И. может даже совершенно приостановиться; случай этот исследован был Шевеном (1882). — Если отверстия значительны по размерам сравнительно с высотой уровня, то каждая часть струи имеет свою скорость и за среднюю скорость принимают обыкновенно скорость той частицы, которая проходит центр тяжести фигуры, представляющей отверстие. Результаты опытов показали, что все же в практике нельзя принимать скорость И., даваемую формулой Торричелли, за истинную, которая всегда меньше теоретической. В гидравлике формулу (3) пишут в следующем виде:

V = a√(2gh).. . (4)

где а, по опытам разных наблюдателей, колеблется между 0,95 и единицей, в среднем = 0,97; причина этого отступления лежит, вероятно, в трении воды о стенки сосуда; вопрос об истинной величине его и даже вопрос о существовании его еще нельзя считать разрешенным.

Если вычислить количество вытекшей в единицу времени жидкости, взяв произведение сечения отверстия на скорость струи, то мы найдем, что вычисленное таким образом количество жидкости будет много больше истинного. Причину этого легко найти, если обратить внимание на то, что струя по выходе из отверстия конически суживается до некоторой толщины и затем продолжает течь с этим новым меньшим сечением струи. Причина этого сжатия струи (contractio venae) лежит в том, что частицы жидкости притекают к отверстию не только сверху, но и сбоку, а следовательно, имеют боковые скорости, благодаря которым идут наклонно к отверстию и сжимают струю. Явление это в первый раз замечено было Ис. Ньютоном и описано в его "Principia" (1714). При И. жидкости за размер отверстия И. следует принимать сечение наиболее узкой части струи, а следовательно, помножить истинное отверстие на отношение сечения его к сечению суженной струи; это отношение называется коэффициентом сжатия (контракции) — К. Формула для количества вытекшей жидкости:

М = Ка√(2gh).. . (5).

Средняя величина К = 0,62; в действительности К зависит от формы отверстия, от давления и множества других причин. Были попытки теоретически вычислить К; Бернулли дал К = 1/√(2) = 0,707, Байер (1848) — (π/2)² = 0,617 [π — отношение окружности к диаметру = 3,14159.], Рэлей (1879) и Кетер (1887) для отверстий в виде щели К = π/(π + 2) = 0,611; границы, теоретически возможные для К для круглых отверстий в тонкой стенке, по Кетеру (1887),.. .. K ) 0,536 и K ( 0,71. Опытно определяли величину K Понселе, Пуазейль, Унвин, Вейсбах и др.; с увеличением отверстия и увеличением давления — K уменьшается, хотя для некоторых форм отверстия изменения величины K следуют другим законам. — До сих пор мы рассматривали И. из весьма тонкой стенки; если стенка толста или отверстие имеет короткие насадки, то законы И. изменяются. Если насадка в виде короткой цилиндрической трубки входит внутрь жидкости (насадка Борда), то теория дает для K наименьшую величину K = 1/2, а опыты от 0,51 (Борда) до 0,55 (Бидоне). Если эта насадка представляет выходящий из стенок сосуда цилиндр, то сузившаяся струя снова расширяется и при выходе из насадки занимает уже все ее сечение; в этом случае, как дает теория и подтверждает опыт, K = 0,82. Если внешняя насадка имеет коническую форму, близкую к форме основания струи, то K должно быть близко к 1, т. е. количество жидкости вытекшей должно быть близко к теоретическому; это и подтверждается опытом; так, Мишелотти нашел в этом случае K = 0,984. Сечение такой совершенной насадки легко построить, если нарисовать трапецию, большее основание которой равнялось бы диаметру отверстия D, высота 0,5D, нижнее основание 0,8D, и бока которой заменены дугами радиуса 1,3D. В случае такой насадки струя не представляет сужения и вполне примыкает к стенкам. Некоторыми комбинациями конических насадок можно даже сделать K ) 1 и почти равным 1 1/2.

В практической гидравлике (устройство плотин, шлюзов и т. д.) важен случай И. при посредстве перелива, т. е. когда одна из стенок сосуда имеет отверстие, доходящее до самого верха стенки, или когда вся стенка или часть ее ниже уровня жидкости. В этом случае теория дает для количества вытекшей в единицу времени жидкости

M = nLK√[2g(h — n/2)].. . (6)

где h — глубина выреза в стенке, L — длина его, а п — толщина струи; величина n, по наблюдениям Понселе и Лебро (1851), около 0,86h, а коэффициент К для этих случаев равен около 0,62. При этих данных формула (6) приобретает вид:

М = 0,4Lh√(2gh).. . (7).

В практической гидравлике пользуются для случая перелива и другими формулами, выведенными эмпирически. На основании почти исключительно эмпирических данных построены правила И. и для других весьма разнообразных случаев гидротехники.

Трение о стенки сосуда, почти не влияющее на И. при отверстиях в самой стенке, становится заметным, когда место И. соединено с сосудом длинной трубкой. В этом случае скорость И. меньше и величина V формулы (2) приобретает вид:

V² = [2gh + 2(p₁ — p₀)/ω]/[1 — (q₁/q₀)² + R].. . (8)

где R некоторая величина, зависящая от трения о стенки трубки, которая выражается:

R = αlu/q.. . (9)

где l — длина трубы, и — периметр ее отверстия, q — ее сечение, а α — коэффициент трения, зависящий от жидкости и от стенок трубки; величина α зависит от скорости V и, по г. Смису (1884), выражается формулой:

где d — диаметр трубки. Подробности течения по трубкам — см. Течение.

При И. жидкостей, смачивающих стенки трубок из самых тонких волосных (капиллярных) трубочек, главную роль играет уже не трение жидкости о стенки, а внутреннее собственное трение одних слоев жидкости о другие. Теорию этого случая И. дал Пуазейль (1842) и разработали Нейман, Гельмгольц и др. Для случая жидкости, смачивающей стенки сосуда, эти ученые вывели, что количество (М) вытекшей в единицу времени жидкости равно

M = πP/8ρl — R⁴.. . (11)

где P — давление, R — радиус трубки, l — ее длина, ρ — коэффициент внутреннего трения, а π = 3,14159. Пользуясь этой формулой, выводят обыкновенно коэффициенты внутреннего трения на основании наблюдений над И. жидкостей из волосных трубок.

Струи и вихри. И. происходит чаще всего в виде струй; причина образования струи при И., а не всестороннего распределения истекающей среды, лежит в особенностях молекулярной структуры тел. Струя жидкости представляет много замечательных свойств. Вытекая из отверстия, она производит на остальную массу жидкости давление, называемое реакцией струи; давление это равно двойному гидростатическому давлению, испытываемому отверстием, т. е. 2qωh. На реакции струи основаны турбины (см.). Падая на поверхность, струя производит на нее давление разное, смотря по положению поверхности, от величины одного до величины 4 гидростатических давлений на отверстие; на ударе струи основаны водяные колеса и некоторые водоподъемные машины (тараны). Другие свойства см. Струя.

Если И. происходит под влиянием мгновенных сил, то вместо струй образуются часто вихри (см.), вроде тех колец из табачного дыма, котор. искусные курильщики умеют выпускать изо рта. Появление вихрей связано необходимо с мгновенным действием силы, под влиянием которой происходит И., и с существованием внутреннего трения в жидкости. Вихри образуются и в массе истекающей жидкости при малейшей несимметрии сосуда, из которого происходит И. Если силы, под влиянием которых происходит И., весьма слабы и разность в плотностях двух сред и их внутреннем трении невелика, то явление И. приобретает еще другой характер — вид струй, заканчивающихся вихрями и принимающих самые причудливые грибообразные формы (см. Струя).

И. газов. И. газов следует тем же основным законам, что и И. жидкостей; но в случае газов мы имеем дело с веществом, объем и плотность которого зависят от давления, поэтому нельзя, как в случае жидкостей, считать среду несжимаемой. И. всегда происходит под влиянием разности давления, а следовательно, истекающая струя газа, попадающая в среду с меньшим давлением, занимает больший объем, расширяется. Расширение же газа всегда сопровождается охлаждением его, охлаждение же зовет за собой опять изменения в объеме, плотности и давлении. Ввиду этого решение общих задач об И. газов представляет вопрос весьма сложный и одну из самых трудных глав аэродинамики — науки о движениях газов; полное рассмотрение вопросов И. газов должно было бы вестись не только на основании принципов гидродинамики, но и на основании механической теории тепла и кинетической теории газов. Если пренебречь охлаждением газа от расширения и действием силы тяжести, то для скорости V истечения газа, под влиянием одной разности давления, получим формулу, аналогичную формуле (2):

V = a²[2log(p₀/p₁)]/[1 — (q₁ω₁/q₀ω₀)²].. . (12)

где а — постоянная Мариоттова зак. (см. Газы), p₀, q₀ и ω₀ — давление, сечение и плотность для сосуда, из которого истекает газ, р₁, q₁ и ω₁ — те же величины для места наименьшего сечения струи. Более простое выражение для V получим из формулы Торричелли, применив ее к газам:

V = √[2g(p₀ — p₁)/ω].. . (13).

Если положим, что газ выходит под давлением одной атмосферы из отверстия в пустоту, то получим по этой формуле для воздуха, исходящего в пустоту, громадную скорость в 396 метров, равную скорости ружейной пули; для водорода — скорость в 4 раза большую и т. д. Из формулы (13) следует вообще, что скорости И. газов обратно пропорциональны их плотностям (см. Диффузия). Закон этот, найденный опытно Грэмом (1836) и подтвержденный точными опытами Бунзена (1857), служит основанием для одного из способов определения плотностей газов.

При И. газов в виде струи наблюдается то же основное явление сжатия струи, что и при И. жидкостей. Его легко заметить, если наблюдать И. струи окрашенного газа или табачного дыма. Замечательно, что коэффициент сжатия струи (К) для газов весьма близок по величине к тому же коэффициенту для жидкостей. Так, по Вейсбаху, величины К:

------------------------------------------------------------------------

| Отверстие с совершенной               | 0,947    |

| насадкой                                        |             |

|----------------------------------------------------------------------|

| Отверстие с конической                  | 0,883    |

|----------------------------------------------------------------------|

| Отверстие с цилиндрической          | 0,839    |

|----------------------------------------------------------------------|

| Отверстие с в тонкой стенке           | 0,671    |

------------------------------------------------------------------------

На этот коэффициент необходимо помножить сечение отверстия при определении количества вытекшего в единицу времени газа. Вопрос о величине давления в месте сужения, т. е. о величине p₁ (форм. 12), решил приблизительно Гюгонио (1886), который показал, что p₁ равно давлению р₂ в той среде, в которую газ истекает, лишь тогда, когда при медленном И. р₂ ) 0,607р₀, a при быстром р₂ ) 0,522р₀; если же р₂ ( βp₀ (где β равно 0,607 или 0,522), то p₁ = βp₀. Отсюда следует замечательное, наблюденное еще Вейсбахом (1855), Гирном (1885) и другими, но объясненное лишь Гюгонио явление, а именно, что количество вытекающего в единицу времени газа растет пропорционально разности давления лишь до тех пор, пока отношение давлений в двух средах не достигнет 0,5-0,6; выше того скорость И. газа постоянна. Это вполне подтвердилось новейшими опытами Сальхера и Вейсхида (1889).

При течении по трубам законы И. для газов те же, что и для жидкостей; скорость И. замедляется и выражается уже формулой

V = √{2g[(p₀ — p₁)/ω][d/(d + εl)]}.. . (14)

где d — диаметр трубки, l — длина трубки, а ε — величина, характеризующая трение воздуха о стенки трубки. По Вейсбаху, ε для стекла равно 0,02197, а по Д'Обюисону для металлических труб — 0,0238. Этот последний ученый нашел из целого ряда опытов эмпирическую формулу, дающую достаточно точно количество вытекающего по трубе в единицу времени газа, именно:

M = 2279√[pd⁵/(l + 47d)]^1/2, где p выражено в давлении ртутного столба.

При И. газов из волосных трубок они следуют, как и жидкости, закону Пуазейля. И. газов из волосных трубок пользуются для определения внутреннего трения их. При И. газы образуют струи, представляющие все особенности жидких струй — реакцию (ракеты, отдача от выстрелов), удар струи и т. д. (см. Струя). При действии мгновенных сил И. газов происходит в виде вихря (при взрывах, при образовании фосфористого водорода и т. д.).

Теория И. газов весьма важна для техники — газопроводного дела, устройства пневматической передачи, воздуходувных приборов, вентиляционных и дымовых труб; в науке она важна для теоретической метеорологии (ветры). Значительные математические трудности замедляют пока полную разработку вопросов об И. газов и паров.

И. твердых тел. Явление И. может наблюдаться на твердых телах, только, очевидно, при весьма сильных давлениях. Что твердые тела под влиянием непрерывно действующей силы могут приобретать постоянную деформацию, было замечено уже давно. Годжкинсон указывал даже на случаи такой деформации у чугуна и мрамора. Известно также, что хрупкие вещества, подобные вару и канифоли, под продолжительным действием сил могут течь; вар, положенный на наклонную плоскость, мало-помалу стекает с нее; куски вара, положенные в воронку, вытекают из нее под влиянием силы тяжести струей, имеющей все характерные свойства жидкой струи. Струя эта медленно образуется, все увеличиваясь в длине, пока не достигнет дна сосуда, в горлышко которого вдета воронка. Течет, как известно, и лед (ледники), который, стекая по склону горы и выходя из ущелий, образует настоящие струи. Впервые опытом исследовал И. твердых тел Треска в 1865-68 г. Он сжимал стопку металлических кружков, помещенных в крепком стальном цилиндре, поршнем, на который действовал гидравлический пресс, и заставлял вытекать металл из небольших отверстий, сделанных в дне цилиндра. Под громадными давлениями (до 100000 кгм.) все металлы, даже железо, вытекали из отверстий струей. Чтобы исследовать строение этой струи, Треска разрезал ее по оси; струя эта представляла ряд воткнутых друг в друга цилиндров, образовавшихся из И. отдельных пластин и кончавшихся полуцилиндрич. шапочками, т. е. представляла полную аналогию с жидкой струей. Треска подробно исследовал эти явления и дал основы теории их. Впоследствии И. металлов занимался Спринг, а И. пластичных и сыпучих тел Треска, Обермайер (1868), Кик (1879) и Форшгеймер (1883).

И. сыпучих тел легко наблюдать, прокладывая друг над другом попеременно слои окрашенного и неокрашенного песка и производя давление на поверхность сыпучего тела; подобными опытами, важными для строительной техники, занимался В. И. Курдюмов (1889). Несомненную роль течение твердых тел играет во множестве технических процессов: резании ножницами металлов, ковке их, прокатывании труб (способ Маннесмана) и т. д. После работ Треска техника во многих производствах начала применять и И. твердых тел. Как пример может служить приготовление свинцовых трубочек для масляных красок: свинцовая, с оловянной оболочкой, пластинка помещается над круглым отверстием в стальной пластине, и сильным нажимом стального цилиндра, который помещается над свинцом и диаметр которого лишь на долю миллиметра меньше диаметра отверстия, заставляют свинец вытекать в виде цилиндрической трубочки, снабженной дном и облекающей со всех сторон стальной цилиндр; прибор, аналогичный прессу Треска, применяют также для получения проволоки из металлов, которые нельзя тянуть через волочильню (напр. висмута). Полное изучение вопроса об И. твердых тел еще впереди; оно чрезвычайно важно для учения о молекулярном строении тел, а затем для техники, геофизики и геологии. Литературу см. Гидродинамика и Гидротехника; об И. твердых тел см. О. Lehmann, "Molekularphysik" (т. I).

А. Гершун.