Изгиб

способ деформации твердого тела, под влиянием действующих на него внешних сил, при котором изменяется кривизна какой-либо его геометрической оси. Теоретически разработан преимущественно И. брусьев и стержней, т. е. таких геометрических тел, поперечные размеры которых малы сравнительно с длиной. Если на такое тело в различных точках его оси действуют внешние силы, направленные произвольно, то тело будет изгибаться и, наконец, при известной величине внешней силы, разрушится переломом в одном или нескольких местах. Формулы, по которым определяется изменение вида тела при сгибании и поверяется его прочность при действии внешних изгибающих сил, выведены при следующих предположениях: а) поперечное сечение тела остается вдоль оси постоянным, или изменяется непрерывно, без скачков, б) внешние силы расположены в одной плоскости (плоскости действия сил), проходящей через ось бруса, в) поперечное сечение тела расположено относительно этой плоскости симметрично. Для вывода практических формул допущена гипотеза, что при И. не изменяются размеры поперечного сечения тела и что каждое поперечное, плоское и перпендикулярное к продольной оси сечение до И. остается таковым же после сгибания, так что деформация характеризуется лишь изменением кривизны геометрической оси и вращением каждого перпендикулярного к этой оси плоского сечения бруса на некоторый угол. Эти два допущения, хотя оба не вполне верные, дали возможность вывести практические формулы, достаточно согласные с опытами и имеющие обширное приложение. Обыкновенно представляют внешние силы параллельными и действующими в вертик. плоскости (нагрузка, собственный вес бруса, сопротивление опор), а самый брус расположенным горизонтально. При этих условиях и на основании изложенных выше допущений, французский инженер и математик Навье, следуя Кулону (в его "Theorie des machines simples", напечатанной вторым изданием в 1821 г.), доказал, что при И. упругого призматического бруса, внутри его образуется некоторый слой волокон, длина которого не изменяется — нейтральный слой. Пересечение этого слоя с вертикальной плоскостью, заключающей продольную ось бруса, образует изогнутую или нейтральную ось или упругую линию бруса. Навье доказал затем, что ось эта совпадает с геометрической осью тела, т. е. линией, соединяющей центры тяжести последовательных нормальных сечений. Из условий равновесия внешних изгибающих сил с внутренними силами сопротивления в сечении изгибаемого бруса Яков Бернулли вывел зависимость (в "Acta Erudit", 1694 г., р. 263):

Mρ = w

где M — статический момент всех внешних сил, действующих с одной стороны на сечение бруса, ρ - радиус кривизны точки пересечения упругой линии с взятым сечением, a w - постоянная величина, зависящая от вида сечения и материала бруса. В настоящее время эта постоянная величина называется моментом упругости сечения и выражается

w = ET

произведением коэффициента упругости материала E на момент инерции сечения Т. Навье, приравняв статический момент внешних сил сумме статических моментов внутренних сил сопротивления, относительно нейтральной оси, получил равенство:

Мυ = RI

где M имеет вышеуказанное значение, I - момент инерции сечения относительно горизонтальной линии, проходящей через центр тяжести его, а R — напряжение волокна, расположенного в расстоянии υ от нейтральной оси рассматриваемого сечения. Из двух приведенных уравнений, первое, в которое входит радиус кривизны, служит для определения вида изогнутой нейтральной оси, а следовательно и всего бруса, а второе дает возможность вычислить продольное растягивающее (для волокон под нейтральной осью) или сжимающее (для волокон над нейтральною осью) напряжение на единицу площади сечения, на расстоянии υ от нейтральной оси. Наибольшее напряжение будет в крайних верхних и крайних нижних волокнах бруса, наиболее удаленных от нейтральной оси, и потому для поверки прочности изгибаемого бруса, в зависимости от размеров его, величины и распределения действующих на него сил, служит формула:

R = (Mυ₁)/I

в которой вместо υ₁ надо вставить расстояние наиболее удаленного волокна от нейтральной оси в поверяемом сечении (напр. для сечения с горизонтальной осью симметрии — половину высоты сечения), при чем R должно получиться не более допускаемого прочного сопротивления материала (в килограммах на квадратный миллиметр). Приложение теории И., установленной Навье, составляет обширный отдел строительной механики и имеет громадное практическое значение, так как оно служит основанием для расчета размеров и поверки прочности разнообразных частей сооружений: балок, мостов, элементов машин и пр. Особый вид изгиба представляет случай длинных призматических стержней или стоек, которые сжимаются силами, направленными вдоль оси бруса. Вследствие того, что направление приложенных к концам стержня сжимающих сил на практике никогда не может совершенно точно совпадать с геометрической его осью, при чем материальный стержень не может быть безусловно однородным и обладать совершенно строгой математической формой, обыкновенно при достаточной длине тонкого стержня и действии значительной продольной силы, вместо простого сжатия происходит отклонение средней части стержня в сторону (продольный И.). Разрушение стержня при возрастании сжимающей силы произойдет не вследствие раздробления материала, как в случае сжатия короткой толстой призмы, а переломом. Теория продольного И. занимала еще знаменитого Эйлера, который для силы α, вызывающей начальное отклонение сжимаемого ею стержня, вывел равенство:

α = (EI)(π²/l²)

(формула Эйлера), где l — длина стержня. Формула эта, однако, для практики имеет мало значения, и теоретическое решение вопроса о продольном И., не достигнутое Эйлером, также не удалось и позднейшим исследователям (Шварцу, Ренкину), так что в настоящее время еще пользуются эмпирическими правилами, основанными прямо на опытах и по которым, для обеспечения прочности сжимаемого стержня, при известной нагрузке, установлено определенное отношение между длиной стержня и площадью поперечного его сечения; в зависимости от способа закрепления концов стержня.

А. Таненбаум.