Двойственность

В геометрии обыкновенно принимается точка за основной элемент, причем линии рассматриваются, как геометрические места точек; но с таким же правом (следуя Плюкеру) можно за основной элемент принимать прямую. Подобно тому, как прямая линия есть геометрическое место точек, можно точку рассматривать как центр некоторого пучка прямых. С особенной же рельефностью закон двойственности выступает в аналит. геометрии при приложении способа координат (см. Геометрия). Тут мы встречаемся с замечательной двойственностью геометрического толкования аналитических (алгебраических) выкладок. Эта Д. дает место так называемым коррелативным теоремам. Для пояснения заметим, что положение точки на плоскости определяется заданием двух прямолинейных координат ее х и у. Положение прямой линии на плоскости определяется заданием уравнения первой степени; у = ах + b; в это уравнение входят два коэффициента а и b, от величины которых зависит положение прямой относительно осей координат. Для определения коэффициентов а и b необходимы два условия; так, напр., положение прямой определяется двумя точками, точкой и углом, образуемым ею с одной из осей координат; одним словом, мы видим, что числа а и b можно называть координатами прямой, подобно тому, как числа х и у мы называем координатами точки, ибо заданием координат а и b положение прямой определяется. Таким образом мы составляем себе понятие о так называемых линейных координатах прямой. Легко убедиться, что если мы напишем между линейными координатами а и b некоторое уравнение первой степени: b = ma + n, где m и n числа заданные, то все прямые, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, проходят через одну и ту же точку. Следовательно, уравнение первой степени в линейных координатах определяет точку, подобно тому как уравнение первой степени в декартовых координатах определяет прямую. Уравнения высших степеней в декартовых координатах определяют различные кривые, как геометрические места точек; в линейных же координатах уравнение f(a,b)=0 определит тоже кривую линию, причем все прямые, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, суть касательные к кривой, определяемой этим уравнением. Поэтому линейные координаты называются также касательными координатами или тангенциальными. Кривая же в касательных координатах рассматривается как огибающая прямые (см. Огибающая). При помощи закона Д. можно из одних теорем выводить новые коррелативные теоремы при помощи замены точек прямыми и обратно.

Д. Гр.