Геодезическая линия

Г. линией на поверхности мы называем такую линию, главные нормали всех точек которой совпадают с нормалями к поверхности.

Если уравнение поверхности в прямоугольных координатах будет f(х, у, z) = 0, то два дифференциальных уравнения Г. линии будут иметь вид:

[d(dx/ds)]/(df/dx) = [d(dy/ds)]/(df/dy) = [d(dz/ds)]/(df/dz), где ds = √[dx² + dy² + dz²].

К тем же дифференциальным уравнениям мы придем, если поставим себе задачу найти кратчайшую линию на поверхности между заданными на этой поверхности двумя точками, а потому можем сказать, что кратчайшей линией на поверхности между двумя точками будет часть Г. линии, проходящей через эти точки. Обратное заключение не всегда справедливо, ибо иногда часть геодезической линии, проходящей через две заданные на поверхности точки, заключенная между этими точками, может не быть кратчайшей, что можно видеть из следующего простого примера. Возьмем шар; на нем, как известно, геодезической линией будет дуга большого круга. Пусть даны две точки, не лежащие на концах одного и того же диаметра; через эти две точки можно провести только одну дугу большого круга. На этой дуге точки отделяют две части: меньше 180° и больше 180°. Первая часть есть кратчайшая кривая на шаре между двумя точками; вторая же, будучи частью Г. линии, лежащей между заданными точками, не обладает указанным свойством. На плоскости Г. линия совпадает с кратчайшей, т. е. с прямой. Для получения уравнения Г. линии в конечном виде необходимо интегрировать написанные выше уравнения. Для геодезии важен случай кратчайшей линии на эллипсоиде, решенный известным математиком Якоби. В механике Г. линия играет важную роль: по ней движется точка, долженствующая оставаться на поверхности в том случае, когда на точку не действуют никакие внешние силы.

Д. Гр.