Косинусов теорема

Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Для плоского треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $α$ противолежащему стороне $a$ справедливо соотношение

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cosα

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

A D = b cosα

D B = c - b cosα

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

$h^2 = b^2 - (b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)$

$h^2 = a^2 - (c - b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad (2)$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

b 2 - (b cosα) 2 = a 2 - (c - b cosα) 2

или

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cosα

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cosβ

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cosγ

Вариации и обобщения

Теоремы косинусов (Сферическая геометрия) или теорема косинусов для трёхгранного угла.
Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)

См. также

Теорема синусов

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное

Смотреть что такое "Косинусов теорема" в других словарях:

КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношения между сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла С между сторонами a и b: c2 = a2 + b2 2abcosC … Большой Энциклопедический словарь
косинусов теорема — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношения между сторонами а, b, с произвольного треугольника и косинусом угла C между сторонами а и b: с2 = a2 + b2 – 2ab cos C. * * * КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА, теорема тригонометрии,… … Энциклопедический словарь
Косинусов теорема — теорема тригонометрии, утверждающая, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними; c2 =а2 + b2 2ab cos α, где а, b, с… … Большая советская энциклопедия
КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношения между сторонами а, b, с произвольного треугольника и косинусом угла С между сторонами а и b: с2 = а2 + b2 2ab cos С … Естествознание. Энциклопедический словарь
КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА — квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т. е. где а, 6, с стороны треугольника, а С угол между сторонами аи b. Ю … Математическая энциклопедия
Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия) — Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен. Формулировка … Википедия
Теорема косинусов — Теорема косинусов теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора: Для плоского тре … Википедия
Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия
Теорема тангенсов — Рис. 1. Треугольник В тригонометрии, теорема тангенсов[1] это теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треуг … Википедия
Теорема синусов (сферическая геометрия) — Сферическая теорема синусов устанавливает пропорциональность между синусами сторон a, b, c и синусами противолежащих этим сторонам углов A, B, C сферического треугольника: Сферическая теорема синусов является аналогом плоской теоремы синусов и… … Википедия

Словари и энциклопедии на Академике

Косинусов теорема

Вариации и обобщения

См. также

Полезное

Смотреть что такое "Косинусов теорема" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Словари и энциклопедии на Академике

Википедия

Косинусов теорема

Вариации и обобщения

См. также

Полезное

Смотреть что такое "Косинусов теорема" в других словарях:

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка: