Итерационная формула Герона

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011.

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

$x_{n+1}=\frac{1}{2}~(x_n + \frac{a}{x_n})\$,

где a — фиксированное положительное число, а $x_1\,$ — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе $x_1\,$ быстро сходится к величине $\sqrt{a}$ (квадратный корень из числа), то есть

$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{a}$

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения $a - x^2 = 0$.

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно, одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

• http://www.mathpages.com/home/kmath190.htm
• http://books.google.ru/books?id=raKRY3KQspsC&pg=PA65&lpg=PA65&dq=heron+formula