Корень квадратный

Квадра́тный ко́рень из $\! a$ (корень 2-й степени) — это решение $\! x$ уравнения вида $x \cdot x = a$. Несмотря на то, что в первую очередь под $\! x$ и $\! a$ подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как матрицы и операторы. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики.

Применение операции корня к числам

Квадратный корень из числа $\! a$ — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен $\! a$, то есть решение уравнения $\! x^2=a$ относительно переменной $\! x$.^[1][2]

Рациональные числа

Корень из рационального числа $\! p/q$ является рациональным числом, только если $\! p$ и $\! q$ (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: $|\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{Cq^2}$, где $\! C$ зависит от $\! r$^[3][4].

Действительные числа

При натуральных $\! a$ уравнение $\! x^2=a$ не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку. ^[5]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа $\! a$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала $\sqrt a$.^[6]

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа $\! a$ часто обозначают как $\sqrt{a}$, однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространенная ошибка:

$-1=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

$\! a=|a|e^{i\phi}$,

то (см. Формула Муавра)

$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}e^{i(\phi+2\pi k)/2}$,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

Квадратный корень как элементарная функция

Вещественный анализ

График функции $y=\sqrt x$

Квадратным корнем называют также функцию $\sqrt{x}$ вещественной переменной $\! x$, которая каждому $\! x\geq 0$ ставит в соответствие арифметическое значение корня.^[7] Эта функция является частным случаем степенной функции $\! x^\alpha$ с $\! \alpha=1/2$. Эта функция является гладкой при $\! x>0$, в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Комплексный анализ

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида $x \circ x = a$ и для других объектов: матриц ^[8], функций ^[9], операторов^[10] и т. п. В качестве операции $\circ$ при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть $(G,\cdot)$ — группоид и $a\in G$. Элемент $x\in G$ называется квадратным корнем из $\ a$ если $\ x \cdot x=a$.

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырех действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[11]

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа sqrt, от англ. square root «квадратный корень».

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 1²

1 + 3 = 2²

1 + 3 + 5 = 3²

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий. Например, так:

9 − 1 = 8

8 − 3 = 5

5 − 5 = 0

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Геометрическое извлечение квадратного корня

$|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}$

В частности, если $\! |AH| = 1$, а $\! |HC| = x$, то $|BH|=\sqrt{x}$ ^[12]

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённоё значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A. В отличие от деления снос производится группами по 2 цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.

1. Найти a_n, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A, оставаясь меньше последнего.
2. Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа a_n.
3. Удвоить a_n.
4. Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2a_n — на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение/деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.
5. Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.
6. Сравнить полученное число с нулём.
7. Если полученное число не равно 0, то найти такое 2a_{n − 1}, которое, будучи умноженным на $(2a_n\cdot 10+a_{n-1})$, даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п.3.
8. Если в п.5 получено равенство, то перейти к п.4, предварительно приписв справа от a_n нуль.
9. После получения количества цифр, равного $\frac {n}{2}$, прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.

Примечания

1. ↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
2. ↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ($\! x^{n}=a$)… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
3. ↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
4. ↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
5. ↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
6. ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
7. ↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
8. ↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
9. ↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
10. ↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
11. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
12. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

См. также

• Корень (значения)
• Арифметический корень
• Квадратное уравнение
• Итерационная формула Герона
• Корень квадратного уравнения
• Теорема Абеля — Руффини

Ссылки

• Алгоритмы вычисления квадратного корня
• A geometric view of the square root algorithm
• Соловьев Ю., Старый алгоритм