- Интерполяционная формула
-
Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.
Содержание
Интерполяционная формула Лагранжа
Ошибка, совершенная при замене функции выражением , не превышает по абсолютной величине
где — — максимум абсолютной величины -й производной функции на отрезке .Интерполяционная формула Ньютона
см. Интерполяционные формулы Ньютона
Если точки расположены на равных расстояниях , многочлен можно записать так:
(здесь , а — разности k-го порядка: ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к . При интерполировании функций для значений , близких к , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).
Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:
где - обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Интерполяционная формула Стирлинга
(о значении символа и связи центральных разностей с разностями см. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений , близких к одному из средних узлов ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов , считая центральным узлом .
Интерполяционная формула Бесселя
применяется при интерполировании функций для значений , близких середине между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов , и располагать их симметрично относительноСм. также
Ссылки
Литература
- Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;
Wikimedia Foundation. 2010.