Жорданова нормальная форма

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем k, с блоками вида

$J_\lambda=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\\end{pmatrix}$

блок J_λ называется жордановой клеткой с собственным значением λ.

Для произвольной квадратной матрицы A над алгебраически замкнутым полем k всегда существует такая квадратная невырожденная матрица C над k, что J = C ^{− 1}AC является жордановой матрицей (иначе говоря, A сопряжена в k некоторой жордановой матрице).

Матрица J = C ^{− 1}AC, указанная выше, называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы A.

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над k в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы.

Свойства

• Количество жордановых клеток порядка n с собственным значением λ в жордановой форме матрицы A можно вычислить по формуле

$c_n(\lambda)= \operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1} -2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n} +\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1}$

где I — единичная матрица того же порядка что и A, $\operatorname{rank} B$ — ранг матрицы B, а $\operatorname{rank} (A-\lambda I)^0$, по определению, равен порядку A.

• В случае если поле k не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица A была подобна над k некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле k содержало все корни характеристического многочлена матрицы A.
• У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.

История

Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.