Отношение эквивалентности

У этого термина существуют и другие значения, см. Эквивалентность.

Отношение эквивалентности ($\sim$) на множестве $X$ — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: $\,a \sim a$ для любого $a$ в $X$,
2. Симметричность: если $\,a \sim b$, то $\,b \sim a$,
3. Транзитивность: если $\,a \sim b$ и $\,b \sim c$, то $\,a \sim c$.

Запись вида «$\,a \sim b$» читается как «$a$ эквивалентно $b$».

Связанные определения

• Классом эквивалентности $C(a)$ элемента $a$ называется подмножество элементов, эквивалентных $a$. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если $b \in C(a)$, то $C(a) = C(b)$.

Множество всех классов эквивалентности обозначается $X/{\sim}$.

• Для класса эквивалентности элемента $a$ используются следующие обозначения: $[a]$, $a / {\sim}$, $\overline{a}$.
• Множество классов эквивалентности по отношению $\sim$ является разбиением множества.

Примеры отношений эквивалентности

• Самое наглядное и всем знакомое отношение эквивалентности - разделение контингента учащихся конкретной школы на классы.
• Равенство («$\;=$»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
• Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
• В Евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности («$\cong$»).
  • Отношение подобия («$\ \sim$»).
  • Отношение параллельности прямых («$\|$»).
• Эквивалентность функций в математическом анализе:

  Говорят, что функция $\, f(x)$ эквивалентна функции $\, g(x)$ при $\, x \rightarrow x_0$, если она допускает представление вида $\, f(x) = \alpha(x) g(x)$, где $\, \alpha(x) \rightarrow 1$ при $\, x \rightarrow x_0$. В этом случае пишут $\, f(x) \sim g(x)$, напоминая при необходимости, что речь идет о сравнении функций при $\, x \rightarrow x_0$. Если $\, g(x) \ne 0$ при $\, x \ne x_0$, эквивалентность функций $\, f(x)$ и $\, g(x)$ при $\, x \rightarrow x_0$, очевидно, равносильна соотношению $\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = 1$.

• Отношение равномощности множеств.

Более сложный пример, но совершенно жизненно важный:

Когда врач выписывает вам лекарство, он, фактически в рецепте указывает класс эквивалентных лекарств, он не может указать совершенно конкретный экземпляр упаковки таблеток или ампул. Т.е. всевозможные лекарства разбиты на классы отношением эквивалентности. Если бы не этот факт, современная медицина просто не была бы возможна.

Таким образом, всевозможные рецепты салатов и коктейлей, ГОСТы и классификаторы также определяют жизненно важные отношения эквивалентности. Отношения эквивалентности заполняют всю нашу жизнь, а не являются абстрактной забавой математиков.

Факторизация отображений

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности $\sim$, обозначается символом $X/{\sim}$ и называется фактор-множеством относительно $\sim$. При этом сюръективное отображение

$p\colon x \mapsto C_x$

называется естественным отображением (или канонической проекцией) $X$ на фактор-множество $X/{\sim}$.

Пусть $X$, $Y$ — множества, $f\colon X \to Y$ — отображение, тогда бинарное отношение $x \, {R_f} \,y$ определённое правилом

$x \mathop{R_f} y \iff f(x) = f(y), \quad x, y \in X$

является отношением эквивалентности на $X$. При этом отображение индуцирует отображение $\overline{f}\colon X/R_f \to Y$, определяемое правилом

$\overline{f}(C_x) = f(x)$

или, что то же самое,

$(\overline{f}\circ p)(x) = f(x)$.

При этом получается факторизация отображения $f$ на сюръективное отображение $p$ и инъективное отображение $\overline{f}$.

Факторизация отображения широко применяется в гуманитарных науках и в тех областях техники, где нет возможности использовать числовые значения. Факторизация отображения позволяет обходиться без формул там, где формулы применять не удается. Приведем пример, который будет понятен любому и не потребует разбираться в сложной математической символике.

Примеры

Расписание занятий в школе – это типичный пример факторизации. В данном случае $X$ – множество всех учащихся школы, $Y$ - множество всех учебных предметов, разнесенных по дням недели с уточнением времени проведения занятий. Классами эквивалентности являются классы (группы учащихся). Отображение $f$ – расписание занятий, отображаемое в дневниках учащихся. Отображение $\overline{f}$ - расписание занятий по классам, вывешиваемое в вестибюле школы. Здесь же имеется и отображение $p$ – списки классов. Этот пример очень наглядно демонстрирует практические выгоды факторизации: невозможно представить себе расписание занятий, как таблицу, в которой отражены все ученики школы в персональном порядке. Факторизация позволила отобразить нужную учащимся информацию в удобном для применения компактном виде в ситуации, где формулы применить не удается.

Однако этим выгоды факторизации не ограничены. Факторизация позволила провести разделение труда между участниками деятельности: завуч составляет расписание, а учащиеся записывают его себе в дневники. Аналогичным образом, факторизация выписки рецептов позволила провести разделение труда между медиком, ставящим диагноз и выписывающим рецепт, и аптекарем, обеспечивающим эквивалентность выписанных лекарств. Апофеозом факторизации является конвейер, реализующий максимальное разделение труда за счет стандартизации деталей.

Но и этим выгоды факторизации не ограничены. Факторизация позволила обеспечить модульность современной техники, что дает ей небывалую гибкость функций. Вы можете сохранить старую сим-карту и купить к ней совершенно новый телефон, или в свой старый компьютер вставить новую видеопамять. Все это - гибкость, модульность, в основе которой лежит факторизация.

Литература

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
• В. В. Иванов, Математический анализ. НГУ, 2009.

См. также

• Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
• Эквиваленция — логическая операция.
• Знак равенства