Дедекиндовы сечения

Дедекиндово сечение (узкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных. Введён Дедекиндом.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ на два подмножества $A\!$ и $B\!$ такие, что:

1. a < b для любых $a\in A$ и $b\in B;$
2. $B\!$ не имеет минимального элемента.

Примеры

Вещественному числу $\sqrt 2$ соответствует дедекиндово сечение, определяемое $A=\{x\in\mathbb Q\mid x&amp;lt;0; 0; x^2\leqslant2\}$ и $B=\{x\in\mathbb Q\mid x&amp;gt;0; x^2&amp;gt;2\}\,$. Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить$\sqrt 2$, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее$\sqrt 2$, и все числа, что правее$\sqrt 2$; соответственно,$\sqrt 2$ равен точной нижней грани множества $B\,$.