- Двудольный граф
-
Двудольный граф или бигра́ф — это математический термин теории графов, обозначающий граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть не существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части.
Содержание
Определение
Неориентированный граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части , , , так, что
- ни одна вершина в не соединена с вершинами в и
- ни одна вершина в не соединена с вершинами в
Двудольный граф называется полным, если для каждой пары вершин существует ребро . Для
такой граф называется
Примеры
Двудольные графы естественно возникают при моделировании отношений между двумя различными классами обеъектов. К примеру граф футболистов и клубов, ребро сеодиняет соответствующего игрока и клуб, если игрок играл в этом клубе. Более абстрактные примеры двудольных графов:
- Дерево
- Цикл состоящий из четного числа вершин.
- Любой планарный граф, у которого каждая грань ограничена четным количеством ребер.
Свойства
- Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит цикла нечётной длины. Поэтому двудольный граф не может содержать клику размером более 2.
- Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он 2-раскрашиваем (то есть его хроматическое число равняется двум)
- Граф разбивается на пары разноцветных вершин тогда и только тогда, когда любые элементов одной из долей связаны по крайней мере с элементами другой (Теорема Холла).
- Полный двудольный граф, у которого в каждой части больше 2 вершин, является непланарным.
Проверка двудольности
Для того, чтобы проверить граф на предмет двудольности, достаточно в каждой компоненте связности выбрать любую вершину и помечать оставшиеся вершины во время обхода графа (например, поиском в ширину или в глубину) поочерёдно как чётные и нечётные (см. иллюстрацию). Если при этом не возникнет конфликта, все чётные вершины образуют множество , а все нечётные — .
Применения
- Сети Петри
- Граф Леви
- Теория кодирования
- Factor graph
- Tanner graph
См. также
Ссылки
Видеозапись лекции о двудольных графах, Эйлеровых и Гамильтоновых путях
Двудольный граф на Викискладе? Категория:- Теория графов
Wikimedia Foundation. 2010.