Бивектор

Поливектор, р-вектор, векторного пространства V — элемент некоторой внешней степени Λ^p пространства V над полем k. p-вектор может пониматься как кососимметризованный р раз контравариантный тензор на V.

2-вектор также называют бивектором.

Свойства

• Любая линейно независимая система векторов $a_1,a_2,\dots,a_p$ из V определяет ненулевой р-вектор $a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_p$; такие поливектора называется разложимыми, или простыми.
• Линейно независимые системы $a_1,a_2,\dots,a_p$ и $b_1,b_2,\dots,b_p$ порождают одно и то же подпространство в V в том и только в том случае, когда
      $a_1\wedge a_2\wedge \dots\wedge a_p=\lambda b_1\wedge b_2\wedge \dots\wedge b_p.$
• Для любого ненулевого поливектора $t\in\Lambda^p(V)$ его аннулятор $\operatorname{Ann} t= \{v\in V|t\wedge v=0\}$ есть подпространство размерности $\le p$, причём поливектор t разложим тогда и только тогда, когда $\dim \operatorname{Ann} t=p$.
• Разложимые p-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в Λ^p(V) соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана.
• Любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;
• Бивектор t разложим тогда и только тогда, когда $t\wedge t=0$.
• Если фиксировать ненулевой n-вектор $\omega\in\Lambda^n(V)$, то возникает естественный изоморфизм

  $\pi: \Lambda^p (V) \to\Lambda^{n-p} (V)$

такой, что $t\wedge u=\langle\pi(t),u\rangle \omega$ для всех $u\in\Lambda^{n-p}(V)$

Литература

• Кострикин А. П., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980