SO(3,1)

Группа Лоренца является группой преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами). ^[1] В математике обозначается $O(1,\;3)$.

Специальная группа Лоренца $SO(1,\;3)$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен $\pm 1$).

Ортохронная группа Лоренца $O_\uparrow(1,\;3)$, специальная ортохронная группа Лоренца $SO_\uparrow(1,\;3)$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты x⁰). Группа $SO_\uparrow(1,\;3)$, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Представления группы Лоренца

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца $SO_\uparrow(1,\;3)$ можно построить при помощи спиноров.

Примечания

1. ↑ Группа всех преобразований Лоренца, включая и параллельный перенос, по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит как подгруппу группу вращений 3-мерного пространства.

Литература

• Ф. И. Фёдоров Группа Лоренца. - М.: Наука, 1979. 384 с (излагается векторная параметризация группы Лоренца и ее применение)
• И. М. Гельфанд, Р. А. Минлос, З. Я. Шапиро Представления группы вращений и группы Лоренца, - М.: Физматгиз, 1958.
• М. А. Наймарк Линейные представления группы Лоренца, - М.: Физматгиз, 1958.
• Г.Я Любарский Теория групп и ее применения в физике, - М.: Наука, 1967.
• Geometric Algebra. — New York: Wiley, 1957. — ISBN ISBN 0-471-60839-4 See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
• Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. — McGraw-Hill, New York, 1977. — ISBN ISBN 0-07-009986-3 A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• The Geometry of Physics (2nd Ed.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — ISBN ISBN 0-521-53927-7 An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Representation Theory: a First Course. — New York: Springer-Verlag, 1991. — ISBN ISBN 0-387-97495-4 See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
• Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. — Singapore: World Scientific, 2004. — ISBN ISBN 981-02-1051-5 See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — ISBN ISBN 0-521-79540-0 See also the online version. Проверено 3 июля 2005. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• The Geometry of Minkowski Spacetime. — New York: Springer-Verlag, 1992. — ISBN ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition) An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Visual Complex Analysis. — Oxford: Oxford University Press, 1997. — ISBN ISBN 0-19-853446-9 See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.