Спинор

Спино́р (англ. spin — вращаться) — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.

Смысл спинорного описания пространства V — построение вспомогательного комплексного линейного пространства S, так чтобы V вкладывалось в $S \otimes S^*$ (в тензорное произведение пространства S на комплексно-сопряжённое к себе). Элементы пространства S и называются «спинорами»; зачастую (хотя и не обязательно) у них отсутствует какой-либо прямой геометрический смысл. Однако, на спинорах можно «почти» определить действие группы вращений, а именно вращение действует на спинор с точностью до неопределённого комплексного множителя, равного по модулю 1 (в простых случаях, с точностью до ±1).

Если исходное пространство V рассматривалось над полем вещественных чисел $\mathbb R$, то вектора из V будут описаны эрмитовыми матрицами.

Математически строгое обоснование такого построения делается с помощью алгебры Клиффорда, построенной по изучаемому пространству (V).

Спиноры впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913 году. Они были вновь открыты в 1929 году Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике.

Трёхмерное пространство

Для представления 3-мерного пространства в качестве S необходимо взять 2-мерное комплексное пространство $S = {\mathbb C}^2$. Вектора трёхмерного пространства будут соответствовать матрицам с нулевым следом.

Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй, близкой к алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона. Именно, с каждым вектором x = (x₁, x₂, x₃) из вещественных (или комплексных) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу

${\bold x}\rightarrow X= \left(\begin{matrix}x_3&x_1-ix_2\\x_1+ix_2&-x_3\end{matrix}\right).$

Матрицы такой формы обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:

• det X = — (длина x)².
• X² = (длина x)²I, где I — единичная матрица.
• $\frac{1}{2}(XY+YX)=({\bold x}\cdot{\bold y})I$
• $\frac{1}{2}(XY-YX)=iZ,$ где Z — матрица, ассоциированная с векторным произведением z = x × y.
• Если u — единичный вектор, то UXU — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из x отражением в плоскости, ортогональной u.
• Согласно линейной алгебре любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трёх (вообще, нечетного числа) отражений.) Таким образом, если R — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях, перпендикулярных единичным векторам u₁ и u₂, то матрица U₂U₁XU₁U₂ представляет вращение R вектора x.

Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовём спинором вектор-столбец

$\xi=\left[\begin{matrix}\xi_1\\\xi_2\end{matrix}\right]$

с комплексными компонентами ξ₁ и ξ₂. Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если X → RXR⁻¹ есть представление вращения, то замена R на -R даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.

Пространство Минковского

Если к трём матрицам Паули добавить ещё и единичную матрицу (за номером 0), то мы получим спинорное представление пространства Минковского M:

$X = \sigma_\mu x^\mu,\ \mu=0,1,2,3$

При этом светоподобные вектора (нулевой длины) будут отвечать вырожденным матрицам вида $\pm\bar\psi\otimes\psi$, где $\psi\in S$. Соответствие между пространством Минковского и эрмитовыми матрицами 2×2: M≈Herm(2) будет взаимно-однозначным.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Спиноры в физике

Спиноры отнюдь не являются чисто абстрактным построением, никак не проявляющим себя по отношению к геометрии реальности. Многие встречающиеся в квантовой механике величины являются спинорами (см. спин, уравнение Дирака). При релятивистском рассмотрении используется изложенное выше спинорное представление пространства Минковского; например, существует довольно простое спинорное представление уравнений Максвелла.

При малых скоростях используются 3-мерные спиноры.

Литература

• Дирак П. Спиноры в гильбертовом пространстве. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 126 с.

• Желнорович В. А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике М.: Наука, 1982. 272 с.

• Желнорович В. А. Теория спиноров и её применения. М.: Август-Принт, 2001. 400с. ISBN 5-94681-001-4

• Картан Э. Теория спиноров. Пер. с франц. М.: ГИИЛ, 1947.

• Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Том 2. Пер с англ. М.: Мир, 1988. 584 с.

• Рашевский П. К. Теория спиноров. Изд. 2-ое. М.: КомКнига, 2006. 112с. ISBN 5-484-00348-2

• Румер Ю. Б. Спинорный анализ. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 104с.

Ссылки

• «Спинорное исчисление» в БСЭ.

См. также

• Спинорная группа
• Теория представлений
• Твистор
• Спин
• q-бит