Преобразование Ханкеля

В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой:

$F_\nu(k) = \int\limits_0^\infty f(r)J_\nu(kr)\,r\,dr$

где J_ν — функция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции F_ν(k) называют следующее выражение:

$f(r) =\int\limits_0^\infty F_\nu(k)J_\nu(kr) k~dk$

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже. Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя-Фурье.

Область определения

Преобразование Ханкеля функции f(r) верно для любых точек на интервале (0, ∞), в которых функция f(r) непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл

$\int\limits_0^\infty |f(r)|\,r^{1/2}\,dr$

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, $f(r)=r$).

Ортогональность

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом r:

$\int\limits_0^\infty J_\nu(kr)J_\nu(k'r)r~dr = \frac{\delta (k-k')}{k}$

для k и k' больше чем ноль.

Преобразование Ханкеля некоторых функций

$f(r)\,$	$F_0(k)\,$
$1\,$	$\delta(k)\,$
$r\,$	$-1/k^3\,$
$r^3\,$	$9/k^5\,$
$r^{m}\,$	$\frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)}\,$ для нечётных m $0\,$ ??? для четных m.
$e^{iar}\,$	$\frac{-ia\sqrt{k^2-a^2}}{(k^2-a^2)^2}\,$
$e^{a^2r^2/2}\,$	$\frac{-e^{k^2/2a^2}}{a^2}$

См

• Преобразование Фурье

Ссылки

• Gaskill, Jack D., «Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics», John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
• Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4