Интегральные преобразования

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

$Tf(u) = \int\limits_{S}K(t, u)\, f(t)\, dt$,

где функции $~f, Tf$ называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства $~L$, при этом функция $~K$ называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

$f(t) = \int\limits_{S'} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du.$

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай)

Если интегральное преобразовании и его обращение заданы формулами

$Tf(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt$,

$f(t) = \int \limits_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du$,

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)

Преобразование	Обозначение	$K$	t1	t2	$K^{-1}$	u1	u2
Преобразование Фурье	$\mathcal{F}$	$\frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+iut}}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Синус-преобразование Фурье (англ.)русск.	$\mathcal{F}_s$	$\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$
Косинус-преобразование Фурье (англ.)русск.	$\mathcal{F}_c$	$\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}$	$0\,$	$\infty\,$
Преобразование Хартли (англ.)русск.	$\mathcal{H}$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Преобразование Меллина (англ.)русск.	$\mathcal{M}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Двустороннее преобразование Лапласа (англ.)русск.	$\mathcal{B}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Преобразование Лапласа	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+ut}}{2\pi i}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Преобразование Вейерштрасса (англ.)русск.	$\mathcal{W}$	$\frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\,$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{e^{+(u-t)^2/4}}{i\sqrt{4\pi}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Преобразование Ханкеля		$t\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$	$u\,J_\nu(ut)$	$0\,$	$\infty\,$
Интегральное преобразование Абеля		$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$	$u\,$	$\infty\,$	$\frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du}$	$t\,$	$\infty\,$
Преобразование Гильберта	$\mathcal{H}il$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$	$\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}$	$-\infty\,$	$\infty\,$
Ядро Пуассона (англ.)русск.		$\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2}$	$0\,$	$2\pi\,$
Идентичное преобразование		$\delta (u-t)\,$	$t_1<u\,$	$t_2>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_1\!<\!t$	$u_2\!>\!t$

Список интегральных преобразований

• Интегральное преобразование Абеля
• Преобразования Бесселя
• Преобразование Бушмана
• Преобразование Бэйтмена
• Преобразование Вейерштрасса
• Преобразование Ганкеля
• Преобразование Гегенбауэра
• Преобразование Гильберта
• Преобразование Конторовича — Лебедева
• Одностороннее преобразование Лапласа
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Мейера
• Преобразование Мелера — Фока
• Преобразование Меллина
• Преобразование Нерейна
• Преобразование Радона
• Преобразование Стильтьеса
• Преобразование Фурье
• Преобразование Хартли

Литература

• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961

См. также

• Дискретные преобразования

Ссылки

• Таблицы интегральных преобразований на EqWorld: МИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.