Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа для расчета электрической цепи заключается в составлении системы из В уравнений с В неизвестными (B — количество ветвей в рассматриваемой цепи) по двум законам Кирхгофа и последующем их решении.

Описание метода расчета

Рассмотрим расчёт электрической цепи, не содержащей источников тока. Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить (У - 1) независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и К = (В - У + 1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (т. е. содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам / контурам).

Для решения составленной системы уравнений можно воспользоваться матричной формой

$~AI = BE$, где

A и B — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка B x B;

I и E — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Решение системы:

$~I = A^{-1}BE = GE$,

$~A^{-1}$	$~=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1B} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{B1} & a_{B2} & \cdots & a_{BB} \end{bmatrix}^{-1}=$
	$~=\frac {1}{\Delta} \begin{bmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{12} & \cdots & \Delta_{1B} \\ \Delta_{21} & \Delta_{22} & \cdots & \Delta_{2B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta_{B1} & \Delta_{B2} & \cdots & \Delta_{BB} \end{bmatrix}^{T}=$
	$~=\frac {1}{\Delta} \begin{bmatrix} \Delta_{11} & \Delta_{21} & \cdots & \Delta_{B1} \\ \Delta_{12} & \Delta_{22} & \cdots & \Delta_{B2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta_{1B} & \Delta_{2B} & \cdots & \Delta_{BB} \end{bmatrix}$

— обратная матрица; $\Delta$ — определитель матрицы A; $\Delta_{ik}$ — алгебраические дополнения элементов $a_{ik}$ (см. способы нахождения обратной матрицы).

$G = A^{-1}B = \begin{bmatrix} g_{11} & g_{12} & \cdots & g_{1B} \\ g_{21} & g_{22} & \cdots & g_{2B} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ g_{B1} & g_{B2} & \cdots & g_{BB} \end{bmatrix}$

— матрица собственных $g_{ii}$ и взаимных $g_{ik}$ проводимостей (см. метод наложения).

$\left\{\begin{matrix} I_1 = g_{11}E_1 + g_{12}E_2 + \cdots + g_{1B}E_B; \\ I_2 = g_{21}E_1 + g_{22}E_2 + \cdots + g_{2B}E_B; \\ \vdots \\ I_B = g_{B1}E_1 + g_{B2}E_2 + \cdots + g_{BB}E_B; \end{matrix}\right.$

— система уравнений, определяющих токи ветвей.

Зачастую при расчёте цепей подобным методом возникает необходимость составления большого количества уравнений и последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются и другие методы расчёта.

Пример использования метода

Эквивалентная схема электрической цепи

В качестве примера рассмотрим расчёт цепи, схема которой показана на рисунке — она содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, т.е. К = В − У + 1 = 3 − 2 + 1 = 2 независимых контура (на рисунке контуры отмечены пунктирной линией — можно выбрать любую пару из них — 1 и 2, или 2 и 3, или 1 и 3).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей $I_1$, $I_2$, $I_3$ (на рисунке направления уже отмечены). По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У − 1 = 2 − 1 = 1) независимое уравнение, например для узла a

$~- I_1 - I_2 + I_3 = 0$,

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например для контуров 1 и 2

$~r_1I_1 + r_3I_3 = E_1 + E_2$;

$~r_2I_2 + r_3I_3 = E_2 + E_3$.

Представим систему из этих трёх уравнений в матричной форме:

$\begin{matrix} Y - 1 & \left\{~\right. \\ K & \left\{\begin{matrix}~\\~\end{matrix}\right. \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ r_1 & 0 & r_3 \\ 0 & r_2 & r_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{bmatrix} = AI = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} = BE$

или

$\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{bmatrix}$	$= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ r_1 & 0 & r_3 \\ 0 & r_2 & r_3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} =$
	$= \frac{1}{-(r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3)} \begin{bmatrix} -r_2r_3 & -r_1r_3 & r_1r_2 \\ -(r_2 + r_3) & r_3 & -r_2 \\ r_3 & -(r_1 + r_3) & -r_1 \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} =$
	$= \frac{1}{r^2} \begin{bmatrix} r_2r_3 & r_2 + r_3 & -r_3 \\ r_1r_3 & -r_3 & r_1 + r_3 \\ -r_1r_2 & r_2 & r_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} =$
	$= \frac{1}{r^2} \begin{bmatrix} r_2 + r_3 & -r_3 & r_2 \\ -r_3 & r_1 + r_3 & r_1 \\ r_2 & r_1 & r_1 + r_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \end{bmatrix} = [G][E].$

Теперь составим систему уравнений токов:

$\left\{\begin{matrix} I_1 = g_{11}E_1 + g_{12}E_2 + g_{13}E_3; \\ I_2 = g_{21}E_1 + g_{22}E_2 + g_{23}E_3; \\ I_3 = g_{31}E_1 + g_{32}E_2 + g_{33}E_3, \end{matrix}\right.$

где

$~g_{11} = (r_2 + r_3)/r^2$;

$~g_{22} = (r_1 + r_3)/r^2$;

$~g_{33} = (r_1 + r_2)/r^2$;

$~g_{12} = g_{21} = -r_3/r^2$;

$~g_{13} = g_{31} = r_2/r^2$;

$~g_{23} = g_{32} = r_1/r^2$;

$~r = \sqrt{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3}$.

Расчёт цепей с источниками тока

При расчёте схем замещения с источниками тока возможны упрощения, поскольку токи ветвей с источниками тока известны, и рассчитывать их не нужно. Поэтому число независимых контуров (без источников тока), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно К = (В - В$_J$ - У + 1), где В$_J$ — число ветвей с источниками тока.

См. также

• Методы расчёта электрических цепей

Литература

• Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.