Закон сохранения импульса

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2012.

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства.

Вывод из формализма Ньютона

Рассмотрим второй закон Ньютона

$\frac{d\vec {p}}{dt}=\vec {F}.$

Перепишем его для системы из N частиц:

$\sum_{n=1}^{N} \frac{\vec{dp_n}}{dt}=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\ \vec{F}_{n,m}, \qquad m\ne n, \qquad\qquad (1)$

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида $\vec {F}_{a,b}$ и $\vec {F}_{b,a}$ будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть $\vec{F}_{a,b} = -\vec{F}_{b,a}.$ Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

$\sum_{n=1}^{N} \frac{d\vec{p}_n}{dt}=0$

или

$\!\qquad \frac {d}{dt}\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.$

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

$\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad\!$ (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса $d\vec {p}$ зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

Связь с однородностью пространства

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	…4-импульса
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.

Вывод из формализма Лагранжа

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела $\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),$ зависящую от обобщённых координат $q_i\,,$ обобщённых скоростей $\dot q_i$ и времени t. Здесь точка над q обозначает дифференцирование по времени, $\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.$ Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда $q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a$ для каждой $\!a$-той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: $\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi},$ где $\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.$ В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

$\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a},$

где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: $\delta \mathcal L =0.$ С учётом того, что вектор $\vec \xi$ — произвольный, последнее требование выполняется при:

$\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.$

Воспользуемся уравнением Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:$

$\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .$

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:

$\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$.

Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: $\mathcal L = \frac{mv^2}{2},$ нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:

$\vec P = \sum_a m_a \vec v_a = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$

Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: $\mathcal L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$ что приводит к релятивистскому определению импульса

$\vec P = \sum_a \frac{m_a \vec v_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса в общей теории относительности

Основная статья: Проблема законов сохранения в общей теории относительности

Аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса

$T^\mu_{\nu;\mu}=0,$

где точка с запятой выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.

Можно придумать такие определения импульса гравитационного поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при движении во времени системы тел и полей, но все такие определения содержат элемент произвола, так как вводимый импульс гравитационного поля не может быть тензорной величиной при произвольных преобразованиях координат.

Ссылки

• Опыт с шарами по демонстрации закона сохранения импульса (видео)