Пример Адамара

Пример Адамара иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши.

Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения Лапласа:

$u_{tt} (x,t)=-u_{xx} (x,t),~t>0$;

$u\mid_{t=0}=0,~~u_t\mid_{t=0}=\frac{1}{k}\sin{kx}$.

Тогда несложно показать, что решением такого уравнения будет функция:

$u_k(x,t)=\frac{\operatorname{sh}\,kt}{k^2}\sin{kx}$.

При $k\rightarrow+\infty$ видно, что $\frac{1}{k}\sin{kx}\rightrightarrows 0$ по $x$; следовательно, решение должно также приближаться к нулю. Однако же, в общем случае, когда $x\neq\pi n,n=0,\pm1,\dots,u_k(x,t)\not\to 0,~k\rightarrow\infty$. То есть, непрерывной зависимости от начальных данных нет и, следовательно, задача поставлена некорректно.

См. также

• Начальные и граничные условия

Литература

• Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — Любое издание.
• Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X

Ссылки

• Корректность по Адамару