Контактная структура

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности $M^{2n+1}$, состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Определение

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы $\lambda$, что

$\lambda\wedge (d\lambda)^n \ne 0$

$\lambda$ называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле $Y$ на $M^{2n+1}$ такое, что

$\lambda(Y)=1$

$d\lambda(Y, X)=0$

для любого векторного поля $X$.

Свойства

• Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
• На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

Симплектизация и контактизация

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Почти контактная структура

Пусть $M^{2n+1}$ — нечётномерное гладкое многообразие $\dim M = 2n + 1$.

Почти контактной структурой на многообразии $M$ называется тройка $(\eta ,\xi ,\Phi)$ тензорных полей на этом многообразии, где $\eta$ — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, $\xi$ — векторное поле, называемое характеристическим, $\Phi$ — эндоморфизм $TM$, называемый структурным эндоморфизмом. При этом

1. $\eta (\xi )=1$
2. $\eta \circ \Phi =0$
3. $\Phi (\xi )=0$
4. $\Phi^2=-id+\eta \otimes \xi$

Если, кроме того, на $M$ фиксирована риманова структура $g = \langle\cdot , \cdot\rangle$, такая что

$\langle \Phi X,\Phi Y \rangle =\langle X,Y \rangle -\eta(X)\eta(Y)$

четвёрка $(\eta,\xi,\Phi,g)$ называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.