Многочлены Кравчука

Многочлены Кравчука ( М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму: $\sum\limits^N_{x=0}k^{(p)}_n(x)k^{(p)}_m(x) \sigma(x)= d_n^2,\delta_{m,n}$.

Здесь $\sigma(x)=\binom{N}{x} p^x q^{N-x}$ — весовая функция, $d_n=\sqrt{\binom{N}{n}(pq)^n}$ — квадратичная норма, $0<p<1, \quad 0<q<1, \quad p+q=1$. Для $p=q=1\left/2\right.$ весовая функция с точностью до постоянного множителя $1\left/ 2^N\right.$ сводится к биномиальному коэффициенту.

Рекуррентное соотношение для этих многочленов имеет вид $(n+1)k^{(p)}_{n+1}(x)+pq\left(N-n+1\right)k^{(p)}_{n-1}(x)= \bigl[ x+n(p-q)-pN \bigr]k^{(p)}_n (x)$.

Путем несложных преобразований его можно привести к форме

$f_{n+1}\frac{k^{(p)}_{n+1}(x)}{d_{n+1}}+f_{n}\frac{k^{(p)}_{n-1}(x)}{d_{n-1}}= \left( rx+\varepsilon n+\Delta \right)\frac{k^{(p)}_n (x)}{d_n}$,

где

$f_n=\sqrt{\frac{n(N+1-n)}{N}},\quad r=\frac{1}{\sqrt{pqN}},\quad \varepsilon=r(p-q),\quad \Delta=-rpN.$

Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:

$k^{(p)}_n(x)=(-1)^n \binom{N}{n} p^n {}_2 F_1(-n,-x;-N;1/p)$

В пределе при $N\to\infty$ многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:

$\lim\limits_{N\to\infty} \left(2/Npq\right)^{n/2}n! ;k_n^{(p)} \left( Np + \sqrt{2Npq},x \right) = H_n(x)$

Первые четыре полинома для простейшего случая $p=q=1/2$:

• $\mathcal{K}_0(x, N) = 1$
• $\mathcal{K}_1(x, N) = -2x + N$
• $\mathcal{K}_2(x, N) = 2x^2 - 2Nx + {N\choose 2}$
• $\mathcal{K}_3(x, N) = -\frac{4}{3}x^3 + 2Nx^2 - \left(N^2 - N + \frac{2}{3}\right)x + {N \choose 3}$

Литература

• Sur une généralisation des polynomes d’Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622 — статья, в которой впервые введены многочлены Кравчука; по ссылке доступны французский оригинал и переводы на английский и русский языки.
• А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
• Krawtchouk Polynomials Home Page — сайт, посвященный многочленам Кравчука, содержит, в частности, обширную библиографию.

См. также

• Матрицы Кравчука
• Теорема Мак-Вильямс