Класс (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Класс.

Класс — термин, употребляемый в математике в основном как синоним термина «множество» для обозначения произвольных совокупностей объектов, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком (например, в алгебре — классы эквивалентности). Иногда классами предпочитают называть совокупности, элементами которых являются множества (например, в рекурсивной теории — перечислимые классы). В некоторых случаях под влиянием аксиоматической теории множеств термин «класс» применяется для того, чтобы подчеркнуть, что данная совокупность оказывается собственно классом, а не множеством в узком смысле (например, в алгебре — примитивные классы универсальных алгебр, называемые также многообразиями). Теоретико-множественные операции над классами определяются так же, как и над множествами.

В аксиоматической теории множеств

Класс в аксиоматической теории множеств (точнее, в аксиоматической системе фон Неймана — Бернаса — Гёделя) — один из видов исходных объектов, рассматриваемых в этих системах, причем различие между множествами и классами состоит в том, что элементами классов и множеств, рассматриваемых в данной теории, могут быть только множества, но не классы.

Идея введения так понимаемых классов в теорию множеств принадлежит Джону фон Нейману и основывается на его замечании, что известные противоречия канторовской теории множеств возникают не из-за допущения образования очень больших множеств, а из-за того, что таким множествам разрешается быть элементами других множеств. Кроме указанного ограничения, в названных аксиоматических системах допускаются все обычные теоретико-множественные операции над классами, приводящие к классам, а не к множествам; к тому же для всякого в некотором смысле допустимого предиката, определенного на множествах, существует класс, состоящий в точности из множеств, удовлетворяющих рассматриваемому предикату.

Доказано, что непротиворечивость каждой из систем фон Неймана — Гёделя — Бернайса (теоретико-множественная часть) и Цермело — Френкеля следует из непротиворечивости другой.

Ссылки

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Викифицировать статью.