Свёртка (математический анализ)

У этого термина существуют и другие значения, см. Свёртка.

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. В математике, свёртка — это математическая операция двух функций f и g, порождающая третью функцию, которая обычно может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования. Операция свёртки это зависимость интеграла по времени, произведения 1-го сигнала на 2-й, от сдвига по времени второго сигнала относительно первого. Результат свёртки показывает в каких местах один сигнал похож на другой, а в каких непохож. Например, произведя свёртку фрагмента изображения с целым изображением, получим максимум результата свёртки именно в том месте, откуда был взят фрагмент. Для свёртки берётся копия первого сигнала. К ней прикладывается копия второго сигнала с определённым сдвигом. Копии сигналов перемножаются. Берётся интеграл по времени от этого перемножения. Значение интеграла наносится на график напротив выбранного сдвига. Затем сдвиг меняется, сигналы опять перемножаются. Опять берётся интеграл от произведения сигналов и наносится на график. Так повторяем для всех значений сдвигов. Полученый график и будет свёрткой.

Свертка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.

Свертка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Свёртка функций

Пусть $f,g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве $\mathbb{R}^d$. Тогда их свёрткой называется функция $f * g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, определенная формулой

$(f * g)(x)\ \ \,$

$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(x-y)\, g(y)\, dy.$

В частности, при $\,d=1$ формула принимает вид:

$(f * g)(x)\ \ \,$

$\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\, g(y)\, dy.$

Свёртка $\,(f * g)(x)$ определена при почти всех $x \in {\mathbf{R}^d}$ и интегрируема.

Свойства

• Коммутативность:

$\, f * g = g * f$.

• Ассоциативность:

$\, f * (g * h) = (f * g) * h$.

• Линейность (дистрибутивность и умножение на число):

$\, (f_1+f_2) * g = f_1 * g + f_2 * g,\quad$

$\, f * (g_1+g_2) = f * g_1 + f * g_2,\quad$

$\, (a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}$.

• Правило дифференцирования:

$\, \mathrm{D}(f * g) = \mathrm{D}f * g = f * \mathrm{D}g$,

где $\mathrm{D}f$ обозначает производную функции $f$ по любой переменной.

• Свойство Фурье-образа:

$\, \mathfrak{F}[f * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g]$,

где $\mathfrak{F}[f]$ обозначает преобразование Фурье функции $f$.

Свёртка на группах

Пусть $G$ — группа Ли, оснащённая мерой Хаара $m$, и $f,g:G \to \mathbb{R}$ — две функции, определённые на $G$. Тогда их свёрткой называется функция

$f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G$.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и две меры $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$. Тогда их свёрткой называется мера

$\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$,

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер $\mu$ и $\nu$.

Свойства

• Пусть $\mu,\nu$ абсолютно непрерывны относительно меры Лебега $m$. Обозначим их производные Радона — Никодима:

$f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}$.

Тогда $\mu * \nu$ также абсолютно непрерывна относительно $m$, и её производная Радона — Никодима $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$ имеет вид

$f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}$.

• Если $\mu,\nu$ — вероятностные меры, то $\mu * \nu$ также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ — распределения двух независимых случайных величин $X$ и $Y$, то

$\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y$,

где $\mathbb{P}^{X+Y}$ — распределение суммы $X+Y$. В частности, если $X,Y$ абсолютно непрерывны и имеют плотности $f_X,f_Y$, то случайная величина $X+Y$ также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

$f_{X+Y} = f_X * f_Y$.

См. также

• Автокорреляционная функция
• Преобразование Фурье
• Свёртка последовательностей

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet

• Линейная и циклическая свертка  (рус.). Архивировано из первоисточника 26 августа 2011. Проверено 15 ноября 2010.