Свертка (математический анализ)

Свёртка фу́нкций в функциональном анализе — это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Свёртка функций

Пусть $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ — две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

$(f * g) (t) = \int\limits_{\mathbb R} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$.

Свойства

• Коммутативность:

f * g = g * f.

• Ассоциативность:

f * (g * h) = (f * g) * h.

• Дистрибутивность:

f * (g + h) = (f * g) + (f * h);

• Ассоциативность умножения на скаляр:

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g), \quad \forall a \in \mathbb{R}$.

• Правило дифференцирования:

D(f * g) = Df * g = f * Dg,

где Df обозначает производную функции f.

• Свойство Фурье-образа:

$\mathcal{F}[f * g] = \mathcal{F} [f] \cdot \mathcal{F} [g]$,

где $\mathcal{F}[f]$ обозначает преобразование Фурье функции f.

Свёртка на группах

Пусть G — группа Ли, оснащённая мерой Хаара m, и $f,g:G \to \mathbb{R}$ — две функции, определённые на G. Тогда их свёрткой называется функция

$f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G$.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и две меры $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$. Тогда их свёрткой называется мера

$\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$,

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер μ и ν.

Свойства

• Пусть μ,ν абсолютно непрерывны относительно меры Лебега m. Обозначим их производные Радона — Никодима:

$f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}$.

Тогда μ * ν также абсолютно непрерывна относительно m, и её производная Радона — Никодима $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$ имеет вид

f_{μ * ν} = f_μ * f_ν.

• Если μ,ν — вероятностные меры, то μ * ν также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ — распределения двух независимых случайных величин X и Y, то

$\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y$,

где $\mathbb{P}^{X+Y}$ — распределение суммы X + Y. В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности f_X,f_Y, то случайная величина X + Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

f_{X + Y} = f_X * f_Y.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet