Норма алгебраического числа

Норма алгебраического числа — теоретико-числовая функция, норма, определённая в конечном алгебраическом расширении поля. Норма алгебраического числа равна произведению всех корней минимального многочлена данного числа. Норма отображает кольцо целых элементов расширения поля в кольцо целых элементов поля. Часто в качестве поля берется поле рациональных чисел $\mathbb{Q}~$, а значит в качестве кольца его целых элементов берется кольцо целых чисел $\mathbb{Z}~$.

Свойства

• Норма - мультипликативная функция.
• Норма отображает обратимые элементы кольца в обратимые элементы кольца.
• Норма сохраняет отношение делимости элементов кольца, в частности, норма простого элемента кольца равна простому элементу кольца

Примеры

Норма в кольце гауссовых целых чисел

Поле $\mathbb{Q}[i]~$ - расширение поля рациональных чисел, кольцо его целых элементов - это кольцо гауссовых целых чисел $K=\mathbb{Z}[i]~$ чисел вида $a+bi, a,b \in\mathbb{Z}~$. Норма определяется как $N(a+bi)=a^2+b^2~$. Для данной нормы $a^2+b^2~$ - простое число в $\mathbb{Z}~$ тогда и только тогда, когда $a+bi~$ - простой элемент кольца $\mathbb{Z}[i]~$. Таким образом, в $\mathbb{Z}[i]~$ 2 и все простые числа вида $p=4k+1~$ разложимы в $\mathbb{Z}[i]~$, а простые вида $p=4k+3~$ - неразложимы, поэтому $N(p)=p^2~$.

Множество обратимых элементов кольца $\mathbb{Z}[i]~$ состоит из 4-х элементов: $\{1,-1,i,-i\}~$, норма только этих элементов равна 1.

Норма в действительном квадратичной расширении кольца целых чисел

Если $d>1~$ - натуральное число, свободное от квадратов, то $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]~$ - действительное квадратичное расширение кольца степени 2, его элементы имеют вид $a+b\sqrt{d},a,b\in\mathbb{Z}~$. Норма в $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]~$ определяется как $N(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2~$. Множество обратимых элементов кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]~$ состоит из бесконечного множества элементов - всех решений уравнения Пелля $a^2-db^2=1~$.

Применение

Норма применяется для решения диофантовых уравнений. Если уравнение имеет вид $F(x_1,\ldots ,x_n)=A~$, где F - норма N некоторого кольца алгебраических чисел K, а $\alpha\in K~$ - элемент кольца, определенный энкой $(x_1,\ldots ,x_n)~$, то для решения уравнения достаточно найти хотя бы одно решение уравнения $N(\alpha)=A~$ и все обратимые элементы кольца $N(\varepsilon)=1~$. Так могут быть решены обобщенные уравнения Пелля вида $a^2-db^2=A~$.

Норма может применятся для исследования простых элементов колец алгебраических чисел и простых элементов кольца $\mathbb{Z}~$.

Литература

• Боревич З.И. Шафаревич И.Р. Теория чисел. — ФизМатЛит, 1985.
• Постников М.М. Высшая геометрия. — ФизМатЛит, 1982.